- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
§15 Кольцо многочленов от n переменных
По аналоги с тем как было построено кольцо многочленов от одной переменной можно построить от 2 3 любого числа переменных.
Пусть K областью целостности с единицей.
О1) Многочленом от нескольких переменных с коэффициентами из K назовем выражение вида:
Пример 1:
Многочлен от 3 переменных с коэффициентами из кольца Z:
Слагаемые называются одночленами а, элементы - коэффициенты многочлена .
О2) Многочлены и назовем равными если для любых значений совокупности индексов коэффициент при многочлена f равен коэффициенту из g и пишут
Определим сложение и умножение:
О3) Суммой многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K назовем многочлен вида:
О4) Произведением многочленов и от n переменных назовем многочлен вида:
где
Пример:
Операции над многочленами от n переменных обладают следующими свойствами:
1) коммутативность сложения – вытекает из определения сложения многочленов и коммутативности сложения в кольце K.
2) Ассоциативность сложения: свойство вытекает из определения сложения многочленов и из ассоциативности сложения в кольце K.
3) Существование нуля роль нейтрального элемента относительно сложения играет нулевой многочлен –коэффициенты которого есть нули.
4) Существование противоположного элемента многочленом противоположным многочлену f будет многочлен –f коэффициенты которого противоположны соответствующим коэффициентам из f.
5) Ассоциативность умножения свойство вытекает из определения операции умножения и ассоциативности умножения в кольце K.
6) Дистрибутивность умножения относительно сложения.
Множество многочленов от n переменных с коэффициентами из кольца K является кольцом обозначают .
Многочлены не содержащие переменных то есть состоящие из одного свободного члена отождествляют с элементами кольца K которое является под кольцом кольца многочленов.
7) Коммутативность умножения: коммутативность умножения в кольце многочленов следует из коммутативности умножения одночленов которое вытекает из коммутативности умножения в кольце K.
8) Существование единице роль единице кольца многочленов играет многочлен отождествляемый с еденицей кольца K.
В результате получаем коммутативное кольцо с единицей.
§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
Рассматривая многочлены от 1 переменной можно располагать их одночлены в порядке возрастания или убывания степеней x и такое представление единственно можно ли упорядочить члены многочлена от n переменных. Степенью одночлена назовем число равное
Степенью не нулевого многочлена называется наибольшая степень его одночленов
Многочлен называется однородным если все его члены имеют степень m
Сумма однородных многочленов одной степени будет однородным
Произведение однородных многочленов снова однородный многочлен.
Для упорядочения членов многочлена f используют лексикографическое упорядочение которым пользуются при составлении словарей: из двух слов в словаре раньше помещают то у которого первая буква раньше стоит в алфавите а, если первые буквы одинаковы то слово размещают по второй букве и так далее. Пусть даны два одночлена:
Говорят что, одночлен старше одночлена если:
либо и так далее и обозначают: - отношение лексикографического упорядочивания.
Пример 1:
отношение лексикографического упорядочивания обладает свойствами транзитивности, антисимметричности анти рефлективности - отношение строго порядка. Применив лексико графическое упорядочивание к членам от n переменных можно единственным образом расположить так, что бы лексико графически старшие члены предшествовали младших. Например лексикографически упорядоченным является
Свойства лексикографического упорядочения:
1) Если
То:
Доказательство:
то для
Тогда в произведениях:
то по определению лексикографического упорядочения получаем:
2) Если и то
Доказательство:
. По условию
Т1: Кольцо многочленов над областью целостности K само является областью целостности.
Доказательство:
Докажем что, в кольце отсутствуют делители нуля.
Пусть f ,g два многочлена из кольца и они не нулевые и их старшие члены u v произведение fg равно сумме всевозможных произведений членов f и g в эту сумму войдет произведение ставших членов причем это произведение будет не нулевым произведением, так как коэффициенте у u v из области целостности. Все другие произведения будут младше чем . \...\
И так мы получили среди произведений членов многочленов не будет одночленов подобных uw по этому произведение fg будет содержать лексикографически старший член uv ≠ 0 fg≠0 область целостности.
В процессе доказательства установили: лексикографически старший член произведения равен произведению их лексикографически старших ленов. Степень произведения одночленов равна сумме их степеней.