§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.

Т: Если числа являются корнями многочлена n степени

То справедливы следующие формулы называемые формулами Виета:

…

Доказательство:

По условию числа являются корнями многочлена n степени из кольца С[Z] этот многочлен можно представить в виде произведения линейных множителей: . Раскроим скобки в правой части (рассмотрим эту процедуру для многочлена 3 степени)

На основании определения равенства 2 многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Из последних равенств следует формулы Виета.

■

Замечание: Рассмотренные формулы Виета обобщают известные из школьного курса математики формулы Виета

Пример 1:

Составить нормированный многочлен наименьшей степени имеющий простой корень -1 и двукратный корень i.

§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами

Т1: Если число является корнем многочлена f(x) с действительными корнями то и сопряжённое число также является корнем многочлена f(Z).

Доказательство:

Пусть воспользуемся свойствами комплексных сопряжённых чисел:

Сумма сопряжённых равна сопряжённому суммы и произведение сопряжённых равно сопряжённому произведения:

Воспользовавшись свойствами

С учетом того, что коэффициенты многочлена числа действительные, то есть представимые в виде

Таким образом получили является корнем.

■

Т2: Если число k кратности, для многочлена f(z), то и сопряжённое ему число имеет k кратность для этого же многочлена.

Доказательство:

По условию k кратности, тогда значение многочлена будет равно 0:

, но

Учитывая Т1 будем иметь

Так как f(z) с действительными коэффициентами то и

также многочлены с действительными коэффициентами. Докажем, что (методом от противного) предположив, что , учитывая Т1 это будет многочлен с действительными коэффициентами→ что противоречит условию.

■

§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей

Т1: Всякий многочлен f(x)ϵ R[x] с действительными коэффициентами степени больше 2 приводим над полем R.

Доказательство:

По условию поосновной теореме алгебы многочлен имеет корень в поле C, обозначим его возможны: .

1. По теореме Безу делится на . с действительными коэфициентами и его корень. То есть преводим над полем R.

2. Пусть то сопряжённое ему также является корнем. Следовательно по теореме Безу данный многочлен будет делится на и и делится на их произведение, а тогда

Рассмотрим

Многочлен с действительными коэффициентами представим в виде квадратного двучлена и многочлена p также с действительными переменными, то есть приводим над R.

■

Следствие: Над полем R не приводимы многочлены 1 степени и многочлены 2 степени которые имеют комплексные корни.

Т2: Всякий многочлен степени не ниже 1, единственным образом разлагается с точностью до порядка множителей над полем R в произведение нормированных линейных множителей и квадратных трехчленов то есть: .

Доказательство:

По Т1 можно представить в виде произведения многочленов 1 степени и 2 степени с мнимыми корнями с учетом того, что корни могут оказаться кратными то есть некоторые неприводимые над С многочлены в разложении могут повторятся то в общем случае запевшим:

В результате получим, что f(x) удовлетворяет (*).

■