15 Вопрос:
Определение:
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Предел:
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства).
Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.
Если { un } и { vn } - две сходящиеся последовательности, то:
Если члены последовательностей { un }, { vn }, { wn } удовлетворяют неравенствам
Некоторые замечательные пределы.
16 Вопрос:
Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Определение предела
по Гейне. Число
A
называется пределом
функции f (x)
в точке a,
если эта функция определена в некоторой
окрестности точки a
за исключением, быть может, самой точки
a,
и для любой последовательности
такой,
что
сходящейся
к числу a,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится
к числу A.
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие.
Если две функции f(x)
и g(x)
равны в некоторой окрестности точки
,
за исключением, может быть, самой точки
,
то либо они имеют один и тот же предел
при
,
либо обе не имеют предела в этой точке.
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(2)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(3)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(4)
Замечание. Формулы (2) и (3) справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
