- •1 Вопрос: Определение множества
- •Основные числовые множества
- •Элементы логической символики
- •Операции над множествами
- •4 Вопрос:
- •Угловой коэффициент в уравнении прямой. Геометрический смысл коэффициента.
- •5 Вопрос:
- •10 Вопрос:
- •11 Вопрос:
- •12 Вопрос:
- •Основные действия над матрицами
- •Операция умножения матриц
- •13 Вопрос:
- •14 Вопрос:
- •15 Вопрос:
- •16 Вопрос:
- •Основные теоремы о пределах
- •17 Вопрос:
- •18 Вопрос: Асимптота
- •19 Вопрос: Непрерывная функция
- •21 Вопрос: Производная
- •22 Вопрос: Дифференциал функции
- •23 Вопрос:
- •24 Вопрос:
- •25 Вопрос:
- •26 Вопрос:
- •27 Вопрос: теоремы о дифференцируемых функциях
- •28 Вопрос:
- •29 Вопрос: Выпуклые и вогнутые функции
- •Проверка функции на выпуклость
- •Вогнутая функция
- •Проверка функции на вогнутость
- •30 Вопрос:
23 Вопрос:
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
24 Вопрос:
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0.
25 Вопрос:
Производная обратной функции
Дифференцируемая монотонная функция f: ]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f -1, производная которой вычисляется по формуле
26 Вопрос:
Для начала разберём сами понятия: максимальное значение функции на промежутке – это означает, что на том промежутке все остальные значения функции, что расположены слева и справа от этой точки, будут меньше, а минимальное соответственно, что они будут больше. Такие точки ещё называют точками экстремуму.
Алгоритм нахождения экстремумов не сложный:
Для начала надо взять производную от данной функции;
Потому прировнять эту производную к нулю;
Найти значение переменной, при каких производная преобразуется в ноль;
Разбить этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом ещё надо не забыть о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум;
И вычислить на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной.
27 Вопрос: теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ролля. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка (т.е. на (а; b)) и на концах отрезка обращается в нуль f(a) = f(b) = 0, то на (a; b) найдется хотя бы одна точка c (a; b), в которой f'(c) = 0.
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a; b], то по одной из теорем о непрерывных функциях она достигает на этом отрезке наибольшего значения и наименьшего. Пусть
Заметим, что если М = m, то f(x) = const = 0 (по условию теоремы f(a)=f(b)=0) и, следовательно, f'(x)=0при всех x [a; b] .
Предположим, что M≠m, тогда, по крайней мере, одно из этих чисел отлично от нуля. Для определенности будем считать, что М ≠0 и М > 0.
Пусть в точке x = c f(c)=М, при этом c≠a и с ≠ b, т.к. f(a)=f(b)=0. Придадим значению c приращение Δx и рассмотрим новую точку c+Δx. Поскольку f(c) – наибольшее значение функции, то f(c+Δx) – f(c)≤0 для любого Δx. Отсюда следует, что
Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx→0 и учитывая, что производная при x = c существует, будем иметь:
Но неравенства f'(c) ≤ 0 и f'(c) ≥ 0 одновременно возможны лишь в случае, когда
f'(c)=0. Теорема доказана.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл. Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось Ox в точках x=a и x=b, то на этой кривой найдется хотя бы одна точка с абсциссой c, a < c < b, в которой касательная параллельна оси Ox. Заметим, что доказанная теорема останется справедливой, если предположить, что на концах отрезка функция принимает равные значения f(a)=f(b), не обязательно равные нулю. Кроме того, отметим, что если внутри [a; b] найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции f(x) не существует, то утверждение теоремы может оказаться неверным. Пример. Функция непрерывна на [–1; 1], обращается в нуль на концах отрезка. Но производная не обращается в нуль ни в одной точке этого отрезка. Теорема Лагранжа. Если функция y= f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c, a<c<b такая, чтоf(b) – f(a)=f'(c)(b – a). Доказательство. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) – f(a) – k(x – a). Выясним геометрический смысл введенной функции. Для этого рассмотрим график данной функции на [a; b] и напишем уравнение хорды АВ. Заметим, что угловой коэффициент хорды и она проходит через точку A(а; f(a)). Следовательно, ее уравнение y = f(a) + k(x – a). Но F(x)=f(x)–[f(a)+k(x–a)]. ПоэтомуF(x) при каждом x есть разность ординат графика y= f(x) и хорды, соответствующих точкам с одинаковой абсциссой. Легко видеть, что F(x) непрерывна на [a; b] , как разность непрерывных функций. Эта функция дифференцируема внутри [a; b] и F(a)=F(b)=0. Следовательно, к функции F(x) можно применить теорему Ролля. Согласно этой теореме найдется точка c (a; b), что F'(c)=0. Но F '(x) = f'(x) – k, а значит,F'(c) = f'(c) – k = 0. Подставляя в это равенство значение k, получим , что и требовалось доказать. |
|
Теорему Лагранжа геометрически можно пояснить так. Рассмотрим график функции y=f(x), удовлетворяющий условиям теоремы и соединим концы графика на [a; b] хордой AB. Как мы уже отметили, отношение для хорды AB, а f'(c) есть угловой коэффициент касательной. Следовательно, теорема утверждает, что на графике функции y=f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна хорде, соединяющей концы дуги.
Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c (a; b), что .
Доказательство.Определим число . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию.
F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].
Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но
F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,
откуда .
Заметим, что теорему Коши нельзя доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k.