10 Вопрос:

Пусть даны векторы и .      Определение. Суммой векторов и называется вектор , т.е. при сложении векторов их соответствующие координаты складываются: (2, –4) + (–2, 4) = (0, 0); (3,0,1) + (0,1,4)+(–1, –7,0) = (2, –6,5).      Определение. Произведением вектора на число называется вектор т.е. при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.      Можно проверить, что введенные таким образом операции над векторами удовлетворяют всем свойствам операций в линейном пространстве. Следовательно, арифметическое n-мерное пространство Rⁿ является частным случаем введенного ранее линейного пространства.      Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов:      Пример: Пусть и .      Тогда .      Скалярное произведение обладает следующими свойствами:         1. , причем , только при         2. ,         3. ,         4. .    Определение. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0, т.е. .      Пример. Пусть Тогда ортогональны.    Определение. Линейное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым n-мерным пространством.      Примеры:         1. Множество трехмерных векторов R³.         2. Множество двумерных векторов R².         3. Множество R¹ = R – множество действительных чисел.

11 Вопрос:

  Скалярное произведение

     Скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и ; если либо , то

     Из определения скалярного произведения следует, что где, например, есть величина проекции вектора на направление вектора .

     Скалярный квадрат вектора:

     Свойства скалярного произведения:

     Скалярное произведение в координатах

     Если то

     Угол между векторами

     

     Векторное произведение

     Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для когорого:

     1) ( - угол между векторами и , );

     2)

     3) тройка , , - правая.

     Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .

Норма — структура длины векторов на линейном пространстве.

Норма в векторном линейном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел есть функция , удовлетворяющая следующим условиям (аксиомы нормы):

1. , причём p(x) = 0 только при ;

2. для всех (неравенство треугольника);

3. для любого скаляра α.

Норма обычно обозначается . Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Аксиома 2 обеспечивает выпуклость шаров , аксиома 3 — кроме прочего, их центральную симметрию.

Любой ненулевой вектор (в частности функцию) конечной нормы можно нормировать, поделив его на значение его нормы (после чего он станет нормированным). Также, нередко применяется выражение «нормированный на», подразумевающее, что норма объекта равна в этом случае не единице, а другой определенной величине. Например, иногда говорят о нормировании на дельта-функцию, когда речь идет о нормировании базиса функций, нумерованного непрерывным параметром.