Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора

Пусть 

^

A

: X_n → X_n — линейный оператор.

Вещественное число λ называется собственным значением оператора 

^

A

 , если существует ненулевой вектор x  X_n такой, что

^ A  x = λ x.

Вектор x называется собственным вектором оператора 

^

A

 , соответствующим собственному значению λ .

Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.

N20 Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов   отличен от нуля.

 - эллипс,

 

 - гипербола,

 

px  - парабола.

 

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

N21 Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₂₃yz + 2a₁₃xz + 2a₁₄x + 2a₂₄y + 2a₃₄z + a₄₄ = 0 в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁, a₂₂, a₃₃, a₁₂, a₂₃, a₁₃ отличен от нуля.!

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.  Теорема 13.1   Сфера радиуса   с центром в точке   имеет уравнение

Определение 13.3   Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где   ,   ,   -- положительные числа.         

Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения видно, что координаты точек поверхности ограничены:   ,   ,   .

Гиперболоиды

        Определение 13.4   Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где   ,   ,    -- положительные числа.