Пример.

.

Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:

1. A·B ≠ B·A,

2. (A + B) · C = A·C + B·C,

3. C·(A + B) = C·A + C·B,

4. α(A·B) = (αA) ·B,

5. (A·B) ·C = A·(B·C),

6. (AB)^T = B ^TA ^T,

7. , A, B — квадратные матрицы одинаковой размерности.

8. AE=EA=A, A— квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующей размерности.

Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.

Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы

Обратная матрица

Обратная матрица:

Определение: Матрица Х, удовлетворяющая вме­сте с заданной матрицей А равенствам XA=AX=E_n (1),

(где Е_n – единичная матрица некоторого порядка n) наз. обратной к А и обозначается A^–1.Поскольку А и A^–1 перестановочны, они обе должны быть квадратными того же порядка n. Из (1) в силу того, что ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей, мы имеем Rg E_nRg A. Отсюда RgA=n. Поэтому матрица А может иметь обратную только тогда, когда её детерминант  0. Приведенное условие является не только необходимым, но и достаточ­ным для существования обратной матрицы. Предложение: (1) Каждая квадратная матрица с детерминантом, отличным от нуля, имеет обратную мат­рицу, и притом только одну. Доказательство: Для каждой матрицы А с det A0 существует единственная матрица Х такая, что АХ=Е. Действительно, при любом j столбец x_j матрицы Х должен удовлетворять условию Ах_j=е_j, где е_j – j-й столбец единичной матрицы. Подробнее это условие за­писывается сист. линейных уравнений: (2)

a₁₁x_i¹+...+a_1nx_jⁿ=0 По правилу Крамера эта система

............................. уравнений имеет един­ственное

a_j1x_i¹+...+a_jnx_jⁿ=1  решение, и, => каждый столбец

............................. матрицы Х однозначно определен.

a_n1x_i¹+...+a_nnx_jⁿ=0 Докажем, что ХА=Е. С этой целью заметим, что det X0 и по только что доказанному существует такая матрица Y, что XY=Е. Мы найдем Y, если умножим обе части последнего равенства слева на матрицу A. Тогда AХY=А, откуда в силу АX=Е следует Y=A. Итак, матрица Х удовлетворяет обоим условиям (1). Способ, примененный при доказат-ве существо­вания, является основой для нахождения обратной мат­рицы. Согласно правилу Крамера i-я неизвестная в си­стеме (2) находится по формуле х_jⁱ=_i/det A, где _i – детерминант матрицы, получаемой из А заменой её i-го столбца на j-й столбец единичной матрицы. Разлагая _i по этому столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в e_j только один элемент равен 1, а остальные – ну­ли. =>, _i = (–1)^i+j M_i^j, где M_i^j – дополни­тельный минор элемента a_i^j в матрице А. Окончательно:

x_jⁱ = ((–1)^i+j M_i^j)/det A, (3). Можно решать систему (2) и методом Гаусса.

N6 Элементарные преобразования матриц

Помимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции со столбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;

2. умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;

3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

4. к элементарным преобразованиям иногда относят и операцию транспонирования матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключением

Утверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

Это утверждение на лекции доказано.

Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу.

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса.

N7 Линейное пространство:

Пространство арифметических векторов Rⁿ

Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов­­ Rⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Для любых , , из Rⁿ и любых чисел α , β справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. , сложение ассоциативно;

3. 

4. 

5. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

6. , умножение на число ассоциативно;

7. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

8. 

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.

N8 Линейная зависимость и линейная независимость в Rⁿ

Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где коэффициенты линейной комбинации — некоторые числа.

Определение. Говорят, что вектор пространства Rⁿ линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .

Определение. Система векторов из Rⁿ называется линейно независимой если из следует равенство нулю всех коэффициентов , .

Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

Определение. Система векторов, которая не является линейно независимой, называется линейно зависимой.

Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю , что .

Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций

1. Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.

2. Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов — линейно зависима.

3. Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.

4. Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.

5. Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система — линейно зависима.

Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов в Rⁿ

Справедливо следующее утверждение.

Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов). Система векторов из Rⁿ линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rⁿ линейно выражается через остальные векторы системы.

Базис в Rⁿ. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции в координатной форме

Определение. Система векторов из Rⁿ образует базис в Rⁿ если:

1. система векторов упорядочена;

2. система векторов линейно независима;

3. любой вектор из Rⁿ линейно выражается через векторы системы.

Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов

Образует базис в Rⁿ если любой вектор из Rⁿ может быть представлен в виде .

Определение. Выражение называется разложением вектора в базисе , а числа называются координатами вектора в базисе .

Теорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора из Rⁿ разложение вектора в базисе единственно

Теорема. В пространстве Rⁿ существует базис из n векторов.

Действительно, этот базис — естественный базис

Линейные подпространства:

Определение: Непустое множество L' векторов в линейном пространстве L наз. линейным под­пространством если: а) сумма любых векторов из L' принадлежит L', б) произведение каждого вектора из L' на любое число также принадлежит L'. =>можно доказать, что в силу этого опреде­ления любая линейная комбинация векторов из L' принадлежит L'. В частности, нулевой вектор, как произве­дение 0x, должен лежать в L' Точно так же для каждого вектора х из L' противоположный вектор, равный — 1x, лежит в L'. Сложение и умножение на число, определенные в про­странстве L будут такими же операциями в его подпро­странстве L', Справедливость аксиом линейного прост­ранства для L' прямо вытекает из их справедливости в L, т.о. каждое линейное подпространство са­мо является линейным пространством. Предложения: (1) Размерность линейной оболочки конечного множества векторов не превосходит числа этих векторов. (2) Пусть L' – подпространство n-мерного линейного пространства L_n. Тогда L' имеет размерность k  n. Если k=n, то L' совпадает с L_n. (3) Пусть L' – подпространство в n-мерном пространстве L. Если базис e₁, ..., e_k, e_k+1, ..., e_k в L, то в базисе e₁, ..., e_k все векторы из L' и только такие векторы будут иметь компоненты ^k+1=0, ..., ^k=0. (4)Пусть в n-мерном пространстве L выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов, принадлежащих k-мерному подпространству L', удовлетворяет однородной системе линейных уравнений ранга n–k (при L'=L сист. имеет 0-ой ранг, т.е. не содержит ни одного нетривиального уравнения).

N9 Ранг матрицы и метод её вычисления:

Определение: В матрице А размеров тn минор порядка r наз. базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r+1 равны нулю или миноров порядка r+1 вообще нет, т.е. r совпадает с меньшим из

чисел т или п. Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры поряд­ка r+1 равны нулю, то равны нулю и все миноры по­рядка r+2, а =>, и всех больших порядков. Это становится очевидным, если применить определение детерминанта к какому-нибудь минору порядка r+2; все дополнительные миноры элементов его первой стро­ки являются минорами порядка r+1 нашей матрицы и, следовательно, равны нулю. Столбцы и строки, на пересечении которых расположен базисный минор, мы назовем базисными столбцами и строками. Определение: Рангом матрицы наз. поря­док базисного минора, или, иначе, самый большой поря­док, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг та­кой матрицы, по определению, считают нулем. Ранг матрицы А мы будем обозначать Rg A. Перебирать все миноры в поисках базисного – зада­ча, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Проще всего находить ранг мат­рицы и её базисный минор при помощи элементарных преобразований. Предложения: (1) Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Доказательство: [1] При умножении строки на число 0 базисный минор либо не изменится, либо ум­ножится на . Ни один минор, равный 0, не сделается отличным от 0. [2] Если все миноры порядка r+1 равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от 0. Действительно, полученный после преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка r+1 исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не входящую), либо он равен сумме минора порядка r+1 и детерминанта матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке, входящей в минор, приба­вили другую строку, в него входящую). Из этих сообра­жений следует, что ранг матрицы не может повыситься. Ясно, что он не может и понизиться, так как в против­ном случае при обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился. [3] При перестановке строк минор может изменить (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком отличающийся от другого минора той же матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или во­обще не изменится. Ясно, что при этом порядок базисно­го минора останется тем же. [4] Неизменность ранга при элементарных преобразо­ваниях столбцов доказывается аналогично. Элементарные преобразования строк матрицы будут для нас предпочтительнее ввиду их тесной связи с преобразованиями систем линейных уравнений. Для системы из m уравнений с п неизвестными:

a₁₁x¹+...+a_1nxⁿ=b₁  расширенная ||a₁₁...a_1n b₁||

............................. матрица A*=||....................||

a_mx¹+...+a_mnxⁿ=b_m имеет вид: || a_m1...a_mn b_m||

Перестановке строк этой матрицы соответствует изменение порядка уравнений в системе. Умножение строки на число 0 равносильно умножению соответствующего уравнения на это число. Наконец, прибавить в матрице A* к одной строке другую – то же самое, что сложить соот­ветствующие уравнения системы. При всех этих преобразованиях множество решений системы, разумеется, не меняется. Итак, доказано. (2) Элементарным преобразовазованиям строк расширеной марицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в эквивалентную систему.