Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть линейный оператор
^ |
A |
: Xn → Xn в базисе e имеет матрицу Ae . Найдем матрицу этого оператора Af в базисе f . Пусть C — матрица перехода от базиса e к базису f .
Теорема. Преобразование матрицы оператора
^ |
A |
при переходе от "старого" базиса e к "новому" базису f определяется формулой:
|
|
(1) |
Доказательство.Рассмотрим произвольный вектор x и его образ y =
^ |
A |
x .Обозначим координатные столбцы этих векторов: Xe и Ye — в "старом" базисе e ; Xf и Yf — в "новом" базисе f .Тогда
|
|
|
и
|
|
|
Отсюда, используя формулы преобразования вектора, получаем
|
|
|
Сравнивая с выражением Yf = Af · Xf , приходим к формуле (1), которую требовалось доказать.
N19 Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
Пусть
^ |
A |
: Xn → Xn — линейный оператор.
Вещественное число λ называется собственным значением оператора
^ |
A |
, если существует ненулевой вектор x Xn такой, что
x = λ x. |
Вектор x называется собственным вектором оператора
^ |
A |
, соответствующим собственному значению λ .Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.
Общий случай Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования a (a-инвариантным подпространством), если
.
Собственные подпространства Eλ, корневые подпространства Vλ и подпространства Vm,λ линейного оператора A являются A-инвариантными.
Собственные
векторы являются корневыми (высоты
1): 
;
Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
(A − E)2 = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).
Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
если 
.