12. Задачи для самостоятельного решения

1. Из 10 рабочих надо выбрать трех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных трехцветных флагов с тремя горизонтальными полосами можно получить, если использовать красный, синий и белый цвет?

3. Сколько словарей надо издать, чтобы непосредственно выполнять переведы с любого из пяти языков: русский, немецкий, английский, французский, итальянский на любой другой из этих языков?

4. Сколько разных «слов» можно образовать при перестановке букв в слове «математика»?

5. В цветочном киоске продаются цветы 6 видов. Сколько можно составить различных букетов по 3 цветка в каждом?

6. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они экзамен сдали?

7. 25 выпускников обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

8. Сколько существует прямоугольников на плоскости таких, что длина каждой стороны выражается целым числом от 1 до 12 ?

9. На приборной панели расположены в ряд 7 переключателей, каждый из которых может находиться в двух положениях «включено» и «выключено». Сколько существует различных комбинаций этих переключателей?

10. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, если они не могут начинаться с цифр 0 и 8 ?

11. В конкурсе красоты участвуют 20 девушек. Сколько может быть вариантов распределения пяти призовых мест в этом конкурсе?

12. Сколько различных пятибуквенных «слов» можно составить, используя только две буквы «а» и «Б» ?

13. В коробке находятся фишки четырех разных цветов. Игрок должен сделать набор из 7 фишек. Сколькими способами он может это сделать?

14. Сколько хорд можно получить, попарно соединяя 18 точек, лежащих на одной окружности?

15. Сколько диагоналей имеет выпуклый 12-угольник?, выпуклый n-угольник?

16. Из колоды в 36 карт вынимают 2 карты. Сколько может быть случаев появления двух тузов?

17. В соревнованиях участвуют 12 гимнастов. Сколько может быть вариантов распределения трех призовых мест в этих соревнованиях?

18. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу 8 учащихся?

19. Пятнадцать республик СССР стали самостоятельными государствами. Сколько надо построить посольств, чтобы в каждом государстве было посольство каждого государства?

20. Сколькими способами 10 монет можно разложить в два кармана, чтобы в одном было 3, а в другом – 7 монет?

21. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, чтобы цифры в числе не повторялись?

22. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно составить караул, состоящий из 3 солдат и 1 офицера?

23. Из 10 юношей, 8 мальчиков и 5 девушек надо составить команду, в которую входили бы 4 юноши, 1 мальчик и 2 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

24. В ящике 10 красных и 6 синих шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика а) 2 красных шара; б) 2 шара одного цвета; в) 2 шара разных цветов?

25. На окружности взято несколько точек, которые попарно соединены хордами. Всего получилось 136 хорд. Сколько было взято точек?

26. Сколько получится различных параллелограммов, если пересечь 10 параллельных прямых двенадцатью другими параллельными прямыми?

27. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры в числе могут повторяться?

28. Найти число различных перестановок в слове «перешеек».

29. Сколько букв азбуки Морзе можно составить из точек и тире, если каждая буква может содержать от 1 до 4 символов?

30. В книжном магазине имеются 5 одинаковых экземпляров книги «Петр I» и 3 одинаковых книги «Тарас Бульба». Сколькими способами их можно расставить в один ряд на витрине?

31. Даны две параллельные прямые. На одной из них 7 точек, а на другой – 5 точек. Сколько существует трапеций с вершинами в этих точках?

32. В магазине имеются красные, синие и зеленые надувные шарики. Сколькими способами можно купить набор из 10 шариков?

33. Сколькими способами можно вписать 4 крестика в 10 клеток?

34. В фотоальбоме 24 страницы. На каждой странице помещается одна фотография. Сколькими способами можно разместить в нем 20 различных фотографий?

35. Сколько автомобилей можно обеспечить номерами, если номер состоит из трех букв (используются 20 букв русского алфавита) и четырех цифр (используются 10 цифр)? Буквы и цифры могут повторяться.

36. Сколько вершин имеет выпуклый многоугольник, у которого диагоналей в 998 раз больше, чем сторон?

37. Сколькими способами можно расставить двух королей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

38. В селении проживают 2000 жителей. Доказать, что по крайней мере двое имеют одинаковые инициалы?

39. Сколько различных плоскостей можно провести через n точек пространства, из которых никакие 4 не лежат в одной плоскости, если каждая плоскость проходит через 3 точки?

40. Записать разложения биномов: (m +2n)⁵; (p +1)⁶; (c –2)⁵; (2b–1)⁷; (2b +3c)⁴; (1 –3x)⁴; .