Министерство образования Российской Федерации

Федеральное агентство РФ по образованию

ГОУ ВПО «Горно-Алтайский государственный университет»

Комбинаторика и начала теории вероятностей

Горно-Алтайск 2007

Деев М.Е., Соловьев С.П., Соловьева Л.А. Комбинаторика и начала теории вероятностей. – Горно-Алтайск, 2007.

Настоящее пособие подготовлено для учащихся и преподавателей лицеев, гимназий, школ и классов с углубленным изучением математики для проведения факультативов и спецкурсов

Составители:

Деев М.Е., канд. физ.-мат. наук, доцент Горно-Алтайского государственного университета;

Соловьев С.П., канд. физ.-мат. наук, доцент Горно-Алтайского государственного университета;

Соловьева Л.А., старший. преподаватель Горно-Алтайского государственного университета.

 Горно-Алтайский госуниверситет

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………. Раздел I. Комбинаторика 1. Общие правила комбинаторики…………………………………. 2. Размещения……………………………………………………….. 3. Перестановки……………………………………………………... 4. Сочетания…………………………………………………………. 5. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона………………………… 6. Примеры более сложных задач на сочетания, размещения и перестановки без повторений…………………….. 7. Перестановки с повторениями…………………………………... 8. Размещения с повторениями…………………………………….. 9. Сочетания с повторениями………………………………………. 10. Схема определения вида комбинации………………………… 11. Примеры более сложных задач комбинаторики……………… 12. Задачи для самостоятельного решения………………………... Раздел II. Теория ВЕРОЯТНОСТЕЙ 13. Классическое определение вероятности………………………. 14. Статистическое определение вероятности……………………. 15. Геометрические вероятности…………………………………... 16. Сумма событий…………………………………………………. 17. Произведение событий…………………………………………. 18. Вероятность суммы совместимых событий…………………... 19. Условные вероятности…………………………………………. 20. Вероятность произведения зависимых событий……………… 21. Формула полной вероятности………………………………….. 22. Формула Байеса…………………………………………………. 23. Формула Бернулли……………………………………………… 24. Случайные величины…………………………………………… 25. Числовые характеристики случайной величины……………... 26. Задачи для самостоятельного решения……………………….. ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………. Ответы к задачам для самостоятельного решения………………..

3 3 5 6 7 9 10 12 14 15 16 11 20 23 24 25 28 29 30 31 31 32 33 34 35 35 39 41 42

Оглавление введение

Представителям самых различных специальностей часто приходится решать задачи, связанные с составлением и подсчетом числа различных комбинаций из чисел, букв и иных объектов. Такого типа задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько различных комбинаций того или иного вида можно составить из данных элементов – комбинаторикой. Комбинаторика имеет большое значение для теории вероятностей, теории управляющих систем, статистики и других разделов науки и техники.

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первоначально она, как и теория вероятностей, применялась для расчета шансов на выигрыш в различных азартных играх: рулетке, игре в кости, а также в карточных играх. Теоретические исследования вопросов комбинаторики предпринимали итальянские математики Тарталья и Кардано, французы Паскаль и Ферма, причем в работах последних были уже заложены основы теории вероятностей. Постепенно комбинаторные методы стали тем аппаратом, с помощью которого удалось получить замечательные результаты в теории вероятностей. Здесь можно отметить работы Я. Бернулли, который комбинаторными методами доказал первую содержательную теорему теории вероятностей – так называемый закон больших чисел. Серьезный вклад в разработку теории вероятностей сделали русские и советские математики П.Л. Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов, А.Н.Колмогоров и другие. И хотя ее аппарат чрезвычайно расширился и усложнился по сравнению с аппаратом теории вероятностей XIX века, комбинаторные методы сохраняют свое значение и сегодня.