14. Статистическое определение вероятности
Пусть
А
– случайное событие по отношению к
некоторому испытанию. Проведем это
испытание n
раз и пусть событие А
произошло m
раз. Составим отношение
.
Оно называется относительной
частотой
события А.
Эта частота обладает свойством
устойчивости: с увеличением количества
опытов она приближается к некоторому
постоянному числу, стабилизируясь около
него. Данный факт служит основой для
еще одного определения вероятности –
статистического.
Определение 14.1. Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.
Таким
образом, относительная частота приближенно
равна вероятности и тем точнее, чем
больше число испытаний. Поэтому на
практике поступают следующим образом.
Чтобы найти вероятность изготовления
данным станком годной детали, проверяют
некоторую партию, например, из 200 деталей
и определяют количество годных. Допустим,
их количество – 190. Относительная частота
.
Это число и принимают приближенно за
вероятность нормальной работы станка.
15. Геометрические вероятности
B
C
D |
Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень разбита на 4 сектора и вращается вокруг центра. Стрелок стреляет в мишень один раз. Какова вероятность, что он попадет в сектор ОАВ ? Здесь классическое определение |
не
годится, так как каждое событие
изображается точкой круга, а их –
бесконечное множество. В этом случае
вероятность попадания в сектор ОАВ
будет равна отношению площади сектора
ОАВ к площади всего круга.
.
Геометрическое определение вероятности
события формулируется следующим образом.
Определение 15.1. Вероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий.
В качестве меры, как правило, выступают длина, площадь и объем.
Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.
Пример 37. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К , С , О, М. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность, что получилось слово «Москва»?
Решение. Обозначим событие А: «Получилось слово «Москва»». По формуле (13.1) . Найдем n – общее число исходов. Если мы раскладываем 6 карточек в ряд, то число всевозможных вариантов будет равно количеству перестановок из шести элементов:
n = Р6 = 6! = 123456 = 720.
А
благоприятный исход всего один – когда
получилось слово «Москва». Итак, m
= 1,
. Ответ:
Пример 38. В урне 14 белых и 6 черных шаров. Из нее наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар – черный.
Решение.
Пусть А:
«Извлечен черный шар». Общее число
исходов n
= 20, благоприятных m
=6.
.
Ответ: 0,3
Пример 39. Из букв слова «событие» наугад извлекаются и раскладываются в ряд 3 буквы. Какова вероятность, что получится слово «быт»?
Решение.
,
m
=1,
.
Ответ:
Пример 40. Окрашенный деревянный куб с ребром 10 см распилен на кубики с ребром 2 см. Кубики перемешали и наугад извлекли 1 кубик. Какова вероятность, что он имеет а) три окрашенные грани; б) две окрашенные грани; в)одну окрашенную грань; г) не окрашен.
Решение.
Каждое ребро куба разбито на 5 частей,
значит, всего кубиков 53
= 125. Событие А:
«У кубика 3 окрашенных грани». Такие
кубики находятся в вершинах куба, их 8
штук, поэтому
. В:
«У кубика 2 окрашенных грани». Вдоль
каждого ребра имеется по 3 таких кубика,
всего их – 3 12
= 36.
.
С:
«У кубика 1 окрашенная грань», m
= 9
6 = 54,
.
Наконец, событие D:
«Кубик не окрашен». m
= 27,
.
Заметим, что все эти вероятности в сумме
дают 1 и образуют полную группу событий.
Ответ:
Пример 41. В ящике перемешаны 10 синих и 8 зеленых носков. Наугад вынимаются 2 носка. Какова вероятность, что они: а) оба синие; б) одного цвета; в) разных цветов ?
Решение.
События, вероятность которых надо найти
в пунктах а), б), в) обозначим соответственно
А,
В, С.
Поскольку во всех трех случаях из 18
носков выбирается 2, то общее число
исходов
.
Число благоприятных исходов в первом
случае
,
во втором – по правилу суммы
73, в третьем – по правилу произведения
m
=
10 8
= 80. Находим:
Ответ: 0,3; 0,48; 0,52
Пример 42. В коробке 5 красных и 7 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Найти вероятность того, что два из них – красные?
Решение.
А:
«Выпало 2 красных и 1 зеленый карандаш».
Общее число исходов
.
Для нахождения m
заметим,
что 2 красных карандаша из 5 красных
можно выбрать
способами, а 1 зеленый из 7 зеленых –
способами. И, по правилу произведения,
.
Итак,
.
Ответ: 0,32
Пример 43. По многолетним наблюдениям среднее число солнечных дней в сентябре на Алтае равно 12. Какова вероятность, что 16 сентября будет пасмурная погода?
Решение.
Здесь мы используем статистическое
определение и за вероятность приближенно
принимаем относительную частоту
пасмурных дней:
.
Ответ: 0,6
Пример 44. В круг радиуса 5 брошена точка. Найти вероятность того, что она окажется внутри вписанного в этот круг равностороннего треугольника.
А
В
С
О
Н |
Решение. Согласно геометрического определения, вероятность равна отношению площадей треугольника и круга. СО =5, СН = 1,5 5 = 7,5. Полагая АН = х, АС =2х, По теореме Пифагора АС2 = АН2 + СН2, 4х2 = х2 + 7,52. Отсюда находим: |
.
;
.
А: «Точка попала
внутрь треугольника».
=
0,41.
Ответ: 0,41