19. Условные вероятности

При совместном рассмотрении двух событий А и В часто возникает вопрос, насколько связаны эти события друг с другом. Если наступление события В влияет на вероятность события А, то события А и В называются зависимыми.

Определение 19.1. Условной вероятностью Р(А/В) называется вероятность события А при условии, что уже произошло событие В.

Пример 47. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров наугад друг за другом вынимают два шара. Даны события: А: «Первый шар – белый», В: «Второй шар –белый». Найти условные вероятности .

Решение. Во-первых, заметим, что : «Первый шар – черный», : «Второй шар – черный». Найдем . Событие А уже произошло, то есть первый шар вынут и он – белый. Требуется найти вероятность того, что второй шар – белый. В урне осталось 19 шаров, из них 7 белых. Поэтому . Рассуждая аналогично, находим: .

20. Вероятность произведения зависимых событий

Пусть даны два зависимых события А и В. И из n равновозможных исходов событию А благоприятствуют m , событию В – k, событию АВ – r исходов ( r m, r k).

Если произошло событие А, то реализовался один из m исходов, благоприятствующих А. Вероятность того, что при этом условии произошло событие В найдется, как условная вероятность

. Отсюда . Это и есть правило умножения зависимых событий.

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

(20.1)

21. Формула полной вероятности

Пусть нам требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из попарно несовместимых событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу. События Н₁, Н₂, …, Н_n будем называть гипотезами. Имеем А = АН₁ + АН₂ + … + АН_n , причем АН₁, АН₂, … АН_n попарно несовместимы. Применяя формулы (16.1) и (20.1), получим:

(21.1)

Это есть формула полной вероятности. С ее помощью решается широкий класс задач.

Пример 48. Имеются 3 одинаковых коробки, содержащие по 20 лампочек. В 1-й коробке из них 2 бракованные лампочки, во второй – 4, в третьей – 5. Наугад выбирается коробка, а из нее наугад одна лампочка. Какова вероятность, что эта лампочка бракованная?

Решение. А: «Взята бракованная лампочка». Возникают 3 гипотезы: Н₁: «Выбрана 1-я коробка», Н₂: «Выбрана 2-я коробка», Н₃: «Выбрана 3-я коробка». Поскольку все коробки одинаковые, . Находим условные вероятности.

По формуле полной вероятности

Ответ: 0,18

Пример 49. Из полного набора костей домино извлечена одна кость. Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно приставить к первой согласно правилам игры.

Решение. А: «Вторую кость можно приставить к первой». Если первая кость окажется дублем, вероятность события А будет меньше, чем если бы она была не дублем. Поэтому возникают две гипотезы: Н₁: «Первая кость – дубль», Н₂: «Первая кость – не дубль». Находим: . Если первая кость – дубль, то найдутся 6 из 27 оставшихся костей, которые можно приставить к первой, а если не дубль, то их будет 12. Поэтому

По формуле полной вероятности

Ответ: