25. Числовые характеристики случайной величины

Пусть дискретная случайная величина Х имеет распределена по закону:

Х	x1	x2	x3	…	хn
р	p1	p2	p3	…	pn

Определение 25.1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений на их вероятности.

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_np_n (25.1)

Теоретико-вероятностный смысл этой характеристики состоит в том, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений при достаточно большом числе испытаний. Математическое ожидание обладает также следующими свойствами:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной.

М(с) = с

2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

М(сХ) = сМ(Х)

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их вероятностей.

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y)

4. Математическое ожидание разности двух случайных величин равно разности их вероятностей.

М(Х – Y) = М(Х) – М(Y)

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения. Так, например, даны две случайных величины Х и Y следующими законами распределения:

X	–2	0	2		Y	–50	0	50
p	0,4	0,2	0,4		p	0,3	0,4	0,3

Математические ожидания их равны М(Х) = М(Y) = 0, однако возможные значения рассеяны по-разному: у случайной величины Y они сильнее отклоняются от среднего значения М(Y). И на практике, при одинаковой средней величине годовых осадков одна местность может быть благоприятной для земледелия, другая – нет.

Поэтому возникает необходимость введения новых числовых характеристик случайной величины, по которым можно судить о рассеянии возможных значений около математического ожидания. Этими характеристиками являются дисперсия D(X) и среднее квадратическое отклонение .

Определение 25.2. Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

D(X) = M[X –M(X)]² (25.2)

Определение 25.3. Средним квадратическим отклонением дискретной случайной величины Х называется квадратный корень из ее дисперсии.

(25.3)

Дисперсия обладает следующими свойствами, которые непосредственно получаются из формулы (25.2).

1.Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X²) – M²(X) (25.4)

2.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

D(c) = 0

3.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

D(cX) = c²D(X)

4.Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X + Y) = D(X) + D(Y)

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

D(X – Y) = D(X) + D(Y)

Пример 53. Испытывается устройство, состоящее из четырех одинаковых приборов. Вероятность отказа каждого прибора равна 0,2. Составить закон распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайного числа отказавших приборов.

Решение. Х – число отказавших приборов. Возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2, 3, 4. Их вероятности находим по формуле Бернулли при n =4, p =0,2, q = 0,8.

Проверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 =1. Закон распределения будет иметь вид:

Х	0	1	2	3	4
р	0,4096	0,4096	0,1536	0,0256	0,0016

М(Х) = 0,4096 0 + 0,4096 1 + 0,1536 2 + 0,0256 3 + 0,0016 4 = 0,8;

D(X) = М(Х²) – М²(Х) = 0,4096 0² + 0,4096 1² + 0,1536 2² + 0,0256 3² + 0,0016 4² – 0,8² = 0,64; (Х) = = 0,8.

Ответ: М(Х) = 0,8; D(X) = 0,64; (Х) = 0,8

Пример 54. Круглая мишень разделена диаметрами на 8 равных секторов и вращается вокруг оси О. При достаточно большой скорости вращения стрелок не может различать секторы и вынужден стрелять наугад. При попадании в 1-й сектор он выигрывает 1 руб., во 2-й – выигрывает 2 руб. и т.д., при попадании в 8-й сектор – выигрывает 8 руб. Выгодно ли стрелку участвовать в такой игре, если за каждый выстрел надо платить 5 руб.?

Решение. Пусть случайная величина Х – размер выигрыша стрелка при одном выстреле. Так как все секторы одинаковы, вероятности попадания в каждый равны по 1/8. Найдем математическое ожидание выигрыша. М(Х) = = = 4,5 (руб.). Это среднее значение

выигрыша в данной игре, которое совпадает со «справедливой ценой» одного выстрела. Так как за выстрел приходится платить 5 руб., то стрелять много раз невыгодно.

Пример 55. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Составить закон распределения числа израсходованных патронов, если вероятность его попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти М(Х), D(Х), (Х).

Решение. Х – число израсходованных патронов. Возможные значения Х = 1, 2, 3, 4. Находим их вероятности.

Р(Х=1) = 0,6;

Р(Х=2) = 0,24;

Р(Х=3) = 0,4  0,4  0,6 = 0,096;

Р(Х=4) = 0,4  0,4  0,4  0,6 + 0,4  0,4  0,4  0,4 = 0,064.

Проверка: 0,6 + 0,24 + 0,096 + 0,064 = 1. Закон распределения Х:

Х	1	2	3	4
р	0,6	0,24	0,096	0,064

М(Х) = 0,6  1 + 0,24  2 + 0,096  3 + 0,064  4 = 1,624;

D(Х) = 0,6  1² + 0,24  2² + 0,096  3² + 0,064  4² – 1,624² = 0,81;

(Х) = = 0,9.

Ответ: М(Х) = 1,624; D(Х) = 0,81; (Х) = 0,9.