5. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Составим таблицу значений для n,m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

n m	0	1	2	3	4	5	6	7
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1

Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.

							1
						1		1
					1		2		1
				1		3		3		1
			1		4		6		4		1
		1		5		10		10		5		1
	1		6		15		20		15		6		1
1		7		21		35		35		21		7		1

Такой треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний.

Нам знакомы формулы:

(a + b)¹ = a + b;

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Легко заметить, что коэффициенты в правых частях этих формул взяты из соответствующих строк треугольника Паскаля. Оказывается, при любом натуральном n справедлива формула

, (4.4)

которая называется формулой Ньютона в честь английского физика и математика Исаака Ньютона. Правую часть формулы (4.4) называют разложением степени бинома. По этой же формуле вычисляется (а–b)ⁿ, полагая (а – b)ⁿ = (a +(–b))ⁿ. В этом случае второе слагаемое будет со знаком минус, далее знаки чередуются.

Пример 14. Записать разложение 4-й степени бинома (а + b)⁴.

Решение. Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона:

(а + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Пример 15. Записать разложение (2m –3n)⁵.

Решение. Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.

(2m –3n)⁵ = (2m)⁵– 5(2m)⁴3n + 10(2m)³(3n)² –10(2m)²(3n)³ + 5(2m)(3n)⁴–

– (3n)⁵ = 32m⁵ – 240m⁴n + 720m³n² – 1080m²n³ + 810mn⁴ – 243n⁵.

Пример 16. Вычислить без калькулятора:

.

Решение. Сначала возведем в четвертую степень двучлен.

. Поэтому

. Ответ: 7.