16. Сумма событий

Определение 16.1. Суммой событий А₁, А₂, …, А_n называется событие А = А₁+ А₂+ …+ А_n, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n.

Например, два стрелка стреляют в одну и ту же мишень по одному разу. Обозначим события А₁: “1-й стрелок попал в мишень”, А₂: “2-й стрелок попал в мишень”. Тогда их суммой будет событие А: “Мишень поражена”, то есть, либо попал только 1-й стрелок, либо только 2-й, либо попали оба.

Если события А₁, А₂, …, А_n несовместимы, то одновременно они наступить не могут и определение будет следующим.

Определение 16.2. Суммой несовместимых событий А₁, А₂, …, А_n называется событие А, состоящее в наступлении только одного из событий А₁, А₂, …, А_n.

Рассмотрим для простоты два несовместимых события А и В. Пусть m –число благоприятных исходов для события А, k–число благоприятных исходов для события В, n –общее число исходов. Вероятности событий А и В будут . Число исходов, благоприятных для события С = А+В равно m+k, так как они несовместимы и .

Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

(16.1)

Формула (16.1) допускает обобщение на любое число попарно несовместимых событий.

Пример 45. Брошены две игральных кости. Какова вероятность, что сумма очков на выпавших гранях будет не меньше 10?

Решение. В данном испытании фраза «не меньше 10» означает, что выпадет 10, или 11, или 12 очков. Все три эти события несовместимы, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятностей. Из 36 исходов 3 будут благоприятствовать выпадению 10 очков. Это: (4,6); (5,5) и (6,4). 11 очков могут выпадать двумя способами: (5,6) и (6,5), а 12 очков – только одним способом. Итак, если обозначить

А: «Выпадение в сумме 10 очков»,

В: « –– // –– // –– // –– 11 – //– », ,

С: « –– // –– // –– // –– 12 – //– », .

D: «Выпадение не меньше 10 очков».

.

Ответ:

17. Произведение событий

Определение 17.1. Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от того, произошло или не произошло другое.

Определение 17.2. Произведением независимых событий А и В называется событие С = АВ, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.

Рассмотрим два независимых события А и В. Пусть событию А благоприятствуют m исходов из общего числа n исходов. . Событию В – соответственно k и l исходов. . Тогда для события С = АВ по правилу произведения благоприятных исходов будет m k , а общее число – n l.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

(17.1)

Например, вероятность выпадения двух гербов при бросании двух монет будет равна 0,5  0,5 = 0,25, а вероятность появления трех шестерок подряд при трех бросках игральной кости .

18. Вероятность суммы совместимых событий

Рассмотрим два совместимых события А и В. Пусть m – число исходов, благоприятных для события А, k –число исходов, благоприятных для события В. И пусть среди этих m+k исходов l благоприятствуют и А, и В одновременно. Если n – общее число равновозможных событий, образующих полную группу, то

Событие А+В заключается в том, что происходит либо событие А, либо событие В, либо А и В вместе. Ему благоприятствуют m+k–l исходов, следовательно,

Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления.

(18.1)

Пример 46. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,7 , вторым – 0,8. Найти вероятность поражения цели при залпе из двух орудий.

Решение. Пусть А: «Попадание из 1 орудия», В: «Попадание из 2 орудия», С: «Цель поражена». А и В – совместимые события, так как они могут произойти одновременно. По формуле (18.1)

= 0,7 + 0,8 – 0,7 0,8 = 0,94.

Ответ: 0,94