Теорема об изменении главного вектора количества движения

9. Дифференциальные ур-ния поступательного движения твердого тела:  и т.д. – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0:  =0.

Дифф-ные ур-ния вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:  ,

J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент).   _,    – угловое ускорение, чем больше момент инерции при данном _, тем меньше ускорение, т.е момент инерции при вращательном движении является аналогом массы при поступательном. Зная _, можно найти закон вращения тела =f(t), и, наоборот, зная =f(t), можно найти момент. Частные случаи: 1) если = 0, то  = const – тело вращается равномерно; 2) = const, то  = const – вращение равнопеременное. Уравнение аналогичное дифф-ному уравнению прямолинейного движения точки .

10-11 Кинетическая энергия материальной точки — это скалярная величина определяемая по формуле: T_i=1/2m_iv_i²

Кинетическая энергия механической системы — это энергия равная сумме кинетических энергий точек входящих в эту систему.

При поступательном движении формула кинетической энергии аналогична формуле для материальной точки: T=1/2m_iv_c²

При вращательном движении кинетическая энергия определяется по формуле: T_i=1/2*I_zw²

Так как плоско-параллельное движение совокупность этих движений:

T_i=1/2*mv²+1/2*I_zcw²

Теорема: производная по времени от кинетической энергии равна мощности всех сил: dT/dt=N

Изменение кинетической энергии за некоторое время равно работе всех сил за это же время:

Т-То=А

dT/dt=d/dt(1/2I_zω²)=I_zωε=M_z^eω=N

12.Теорема об изменении кинетической энергии в конечной форме. Работа силы тяжести, силы упругости и момента.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Работой силы F на конечном перемещении точки ее приложения является

скалярное произведение этой силы на вектор перемещения: dA = Fdr =

Fdr*cosα = F_xdx + F_ydy. Теорема:

Единственной причиной изменения кинетической энергии объекта является

приложенная к нему внешняя сила: dT = d(mV²/2) = (2mVdV)/2 = Fdr =

dA. dT=dA – мерой действия силы при изменении

кинетической энергии объекта является производимая внешними силами работа.

T1 –T0 =A – изменение кинетической энергии

материального объекта на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к

нему, на том же перемещении.

Работа сил тяжести. Пусть , координаты начального и конечного положения точки k тела. Работа силы тяжести действующих на эту частицу веса будет . Тогда полная работа:

где Р - вес системы материальных точек, - вертикальное перемещение центра тяжести С.

Работа силы равна произведению модуля силы на перемещение и на косинус угла между ними.

Сила тяжести выражается через массу тела по формулеG = mq. Она приложена к телу в центре масс. Работа силы тяжести при опускании центра масс положительна, при поднимании - отрицательна. Работа силы тяжести за полный цикл движения механизма равна нулю.

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , >0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

а) сила упругости ,где k — коэффициент упругости (в случае пружины применяется также название — жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести ;

13.Работа силы и момента силы.

Момент силы - это мера вращающего действия силы на тело. Он определяется произведением силы на ее плечо. F-сила, r-радиус

Момент силы обычно считают положительным, когда сила вызывает поворот тела против часовой стрелки, и отрицатель­ным при повороте по часовой стрелке.

Чтобы сила могла проявить свое вращающее действие, она должна иметь плечо. Иначе говоря, она не должна прохо­дить через ось вращения.

Определение силы или момента силы, если известна мас­са или момент инерции, позволяет узнать только ускорение, т.е. как быстро изменяется скорость. Надо еще узнать, на­сколько именно изменится скорость. Для этого должно быть известно, как долго была приложена сила. Иначе говоря, сле­дует определить импульс силы (или ее момента) .

Работа силы - это мера действия силы на тело при некотором его перемещении под действием этой силы. Она равна произведению модуля силы и перемещения точки при­ложения силы.

Если сила направлена в сторону движения (или под ост­рым углом к этому направлению) , то она совершает положи­тельную работу, увеличивая энергию движения тела. Когда же сила направлена навстречу движению (или под тупым углом к его направлению) , то работа силы отрицательная и энергия движения тела уменьшается.

Работа момента силы — это мера воздействия момента силы на тело на данном пути (во вращательном движении) . Она равна произведению модуля момента силы и угла поворота.

Понятие работы представляет собой меру внешних воз­действий, приложенных к телу на определенном пути, вызы­вающих изменения механического состояния тела.

14. Принцип Даламбера для м.т. и механической системы. Силы Даламбера.

Д’Аламбера принцип — в механике: один из основных принципов динамики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы, и реакциям наложенных связей присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил.

ринцип Даламбера: Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии:

Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Принцип Даламбера называют еще методом кинетостатики. Задачи динамики с помощью этого метода сводятся к задачам статики.

Принцип Даламбера - при движении механической системы активные силы, реакции связей и силы инерции образуют равновесную систему сил в любой момент движения.

Д’Аламберовы силы инерции

В принципе д’Аламбера в рассмотрение вводятся подлинно отсутствующие в природе силы инерции, которые невозможно измерить никакой физической аппаратурой. Эти силы вводятся ради использования искусственного математического приёма, основанного на применении принципа Д’Аламбера в формулировке Лагранжа, где задача на движение с помощью введения сил инерции формально сводится к проблеме равновесия

15.Принцип Даламбера для механической системы. К чему приводятся силы инерции при поступательном и вращательном движениях т.т. (записать формулы).

Принцип Даламбера - при движении механической системы активные силы, реакции связей и силы инерции образуют равновесную систему сил в любой момент движения.

При поступательном движении системы все ее точки проходят одинаковые пути, имеют в данный момент времени одинаковые скорости и ускорения. При вращательном движения твердого тела все эти характеристики различны для разных точек вращающегося тела, поэтому и математическая форма 2-го закона Ньютона  будет иной. При вращательном движении  существенно изменяются сами понятия причины, вызывающей вращение, и величины, определяющей инертность тела.\

Если точка массой m, находясь под действием постоянной силы F в течение t сек, двигается прямолинейно, то теорема об изменении количества движения (Е. М. Никитин, § 89) выражается формулой (1) mv - mv₀ = Ft, где разность mv-mv₀ – величина изменения проекции количества движения на ось, совпадающую с направлением движения, а произведение Ft – проекция импульса силы на ту же ось.

В СИ количество движения и импульс силы измеряются в ньютон-секундах (Н*с).

Если, рассматривая действие силы F на материальную точку массой m, учитывать не продолжительность ее действия, а протяженность, т. е. то расстояние, на котором действует сила, то получим теорему об изменении кинетической энергии точки (Е. М. Никитин, § 91): (2) mv²/2 - mv₀²/2 = A, где A – работа всех сил, приложенных к точке, а mv₀²/2 и mv²/2 – кинетическая энергия точки соответственно в начале и конце действия сил.

Кинетическая энергия измеряется единицами работы, т. е. в СИ – в джоулях (Дж).

При поступательном движении динамическими характеристиками являются сила, масса, импульс. При вращательном движении динамическими характеристиками являются момент силы, момент инерции, момент импульса. Эти характеристики можно рассматривать относительно точки вращения (полюса) и относительно оси вращения. В дальнейшем будем рассматривать эти характеристики относительно оси вращения. Определим  эти характеристики.

В этом уравнении, выражающем основной закон динамики для вращательного движения тела, множителем пропорциональности является момент инерции тела. Тело с большим моментом инерции труднее привести во вращение.

Кинетическая энергия вращающегося тела E_вр = Jω²/2.

Если тело находится в плоскопараллельном движении, например, катящееся колесо, то его кинетическая энергия складывается из двух слагаемых: E_об = mv²/2 + Jω²/2, где mv²/2 – кинетическая энергия, получающаяся от поступательной части этого сложного движения (см. § 37) при скорости v, равной скорости центра тяжести тела, а Jω²/2 – кинетическая энергия от вращательной части, причем J – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Формулы определяющие кин. энер. т.тела при пост, вращ, и плос. движ

Пост. движ. – T = 1/2* mυ².

Вращ. вокруг неподвижной оси. – T = 1/2*J_zω².

Плоское – T =1/2* mυ­_c² + 1/2*J_czω².

16.

Принцип Даламбера для м.т.

Пусть на материальную точку с массой m действует система активных сил, равнодействующую которых обозначим ª, и реакция связи N(если точка является свободной). Под действием всех этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной системе отсчёта с некоторым ускорением a.

Введём и рассмотрим величину

ª= -m ,

Имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на её ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки.

Тогда оказывается, что движение точки обладает слудующим свойством: если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т.е.

ª+ +

Это положение выражает принцип Даламбера для материальной точки. Оно эквивалентно второму закону Ньютона и наоборот.

Силы инерции в криволинейном движении м.т.

Сила инерции - векторная величина, численно равная произведению массы m материальной точки на её ускорение w и направленная противоположно ускорению. При криволинейном движении силу инерции можно разложить на касательную, или тангенциальную составляющую Jt, направленную противоположно касательно ускорению wt, и на нормальную составляющую Jn, направленную вдоль нормали к траектории от центра кривизны; численно Jt=mwt, Jn=mv2/r, где v — скорость точки, r — радиус кривизны траектории. При изучении движения по отношению к инерциальной системе отсчёта С. и. вводят для того, чтобы иметь формальную возможность составлять уравнения динамики в форме более простых уравнений статики. Понятие о силе инерции вводится также при изучении относительного движения. В этом случае присоединение к действующим на материальную точку силам взаимодействия с другими телами силы инерции — переносной Jпер. и Кориолиса силы Jкор. — позволяет составлять уравнения движения этой точки в подвижной (неинерциальной) системе отсчёта так же, как и в инерциальной.

17.

Метод кинетостатики.

Даламберова сила инерции не имеет источника своего возникновения - другого тела. Она вводится условно в ходе математических преобразований основного уравнения динамики, чтобы придать уравнениям динамики вид условия или уравнения равновесия.

Следовательно, прикладывая силу инерции к движущейся материальной точке, мы можем говорить лишь об условном равновесии, приложенных к ней сил. Однако такое понимание динамического уравнения движения позволяет, используя уравнения равновесия статики, составлять динамические уравнения. Этот метод составления уравнений движения и называется методом кинетостатики.

Принцип Даламбера для механической системы.

Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим какую-нибудь из точек системы с массой m. Под действием приложенных к ней внешних и внутренних сил (в которые входят и активные силы, и реакции связей) некоторым ускорением Введя для этой точки силу инерции

, получим согласно равенству F ̅ª+ + , что , , образуют уравновешенную систему сил.

Принцип Даламбера для механической системы: если в любой момент времени из точек системы кроме действующих на нёё внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики.

К чему приводится силы инерции при плоскопараллельном движении т.т.

Если тело имеет плоскость симметрии и движется параллельно этой плоскости, то, очевидно, система сил инерции тела приведётся к лежащим в плоскости симметрии силе, равной и приложенной в центре масс С тела, и паре с моментом где угловое ускорение тела. При решении задач вычисляется модуль момента , а его направление противоположное , указывается на чертеже.

18.

Возможные или виртуальные перемещения.

Возможные или как их ещё называют, виртуальные, перемещения должны удовлетворять двум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном перемещении система может прийти в положение, где эффект наложенных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может изменится вид рассматриваемой механической системы.. Таким образом, возможным перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений точек этой системы из занимаемого в данный момент времени положения, которые допускаются всеми наложенными на систему связями. При этом под допускаемыми в случае неудерживающих связей будем понимать те возможные перемещения, при которых связи сохраняются (точки системы от связей не «освобождаются»)

Идеальные связи.

Идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

=0

Возможная работа силы.

Понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Будем возможную работу активной силы обозначить символом а возможную работу реакции связи – символом

Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством =0, которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно ещё представить в аналитической форме.

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперёд неизвестные реакции связей.

19. ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ. ОБОБЩЁННАЯ СКОРОСТЬ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. ОБОБЩЁННАЯ СИЛА

Независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в обобщ. координатах даётся s ур-ниями вида qi=qi(t), где t — время. Обобщ. коорд. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах.

Число степеней свободы в механике - число независимых между собой возможных перемещений механич. системы. Число степ. своб. зависит от числа матер. точек, образующих систему, а также от числа и хар-ра наложенных на систему связей механических. Для свободной матер. точки число степ. своб. равно 3, для свободного твёрдого тела — 6, для тела, имеющего неподвижную ось вращения, равно 1. Для любой голономной системы (системы с геом. связями) число степ. своб. равно числу s независимых между собой координат, определяющих положение системы, и даётся равенством s=3n-k, где n — число точек системы, k — число геом. связей. Для неголономной системы число степ. своб. меньше числа координат, определяющих положение системы, на число кинематич. связей, не сводящихся к геометрическим.

Обобщённые силы - величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число обобщ. сил равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя обобщ. сила Qi. Значение обобщ. силы Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет обобщённой силой Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs. Размерность обобщ. силы зависит от размерности обобщённой координаты.

Обобщённая скорость. При движении системы ее обобщенные координаты непрерывно изменяются с течением времени, т.е. являются функциями времени:

q1=q1(t), q2=q2(t), . . . . . . ,qs(t) (1)

Уравнения (1) представляют собой кинематические уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы:

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Если q - линейная величина в метрах, то - обычная линейная скорость в м/c, если q - угол в радианах, то - угловая скорость в рад/с и т.д.

20. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Имеем систему несвободных материальных точек, движущихся с теми или иными ускорениями под действием активных, то есть заданных сил. Если к каждой из точек, кроме вышеуказанных сил и сил реакций связей добавить ее силу инерции, то получаемая система сил в соответствии с принципом Даламбера будет уравновешенной.

А для уравновешенной системы сил уже в соответствии с принципом возможных перемещений сумма виртуальных работ сил на любом возможном перемещении системы должна быть равна нулю.

Формулировка:

В любой момент движения механической системы с идеальными связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Это равенство принято называть общим уравнением динамики или принципом Лагранжа-Даламбера.

21. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА II РОДА. ОБОБЩЁННАЯ ЗАДАННАЯ СИЛА И ОБОБЩЁННАЯ СИЛА ИНЕРЦИИ

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Обобщенные координаты – независимые между собою переменные параметры системы, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени. Число обобщенных координат системы с голономными связями равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа имеют вид

, i = 1, 2,…,n, (1.1)

где n – число степеней свободы голономной системы; qi – обобщенные координаты; – обобщенные скорости (производные обобщенных координат по времени t); Qi – обобщенные силы; T – кинетическая энергия системы; и – частные производные кинетической энергии системы по обобщенной координате qi и по обобщенной скорости ;

– производная по времени t.

Кинетическую энергию системы со стационарными связями целесообразно до подстановки в уравнения (1.1) представить в виде функций обобщенных координат и обобщенных скоростей

(1.2)

Обобщенные силы.

Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Qk.

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Qk, соответствующую обобщенной координате qk, надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где – перемещение i-той точки системы, полученное за счет изменения k–той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t, отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек – функции обобщенных координат .

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q1, q2, q3,…,qs).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике, по которой вычислялись обобщенные силы Qk, соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы Sk, соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Отсюда .

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

где

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене можно поменять порядок дифференцирования:

.

Получаем

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.