Определение скорости, касательного и нормального ускорений при естественном способе задания движения м.Т. (формулы и рисунок)
Определение скорости точки
В
ектор
скорости v точки
направлен по касательной к траектории
и определяется одной проекцией 
,
равной первой производной от криволинейной
координаты s этой точки по времени:
=
ds / dt = 
.
Величину , которая может быть как положительной, так и отрицательной, называют числовым (или алгебраическим) значением скорости.
Модуль скорости v = | | и, следовательно, значения v и могут отличаться лишь знаком:
v = , если точка движется в положительном направлении отсчета координаты s, или v = - , если точка движется в противоположном направлении.
Таким образом, величина определяет одновременно и модуль скорости, и сторону, в которую направлен вектор v вдоль касательной.
Мгновенным ускорением (или
просто ускорением) 
тела
называют предел отношения малого
изменения скорости 
к
малому промежутку времени Δt, в
течение которого происходило изменение
скорости:
|
Направление
вектора ускорения
в
случае криволинейного движения не
совпадает с направлением вектора
скорости 
Составляющие
вектора
ускорения
называют касательным (тангенциальным) 
и нормальным 
ускорениями
(рис. 1.1.5).
|
Рисунок 1.1.5. Касательное и нормальное ускорения |
Касательное ускорение указывает, насколько быстро изменяется скорость тела по модулю:
|
Вектор направлен по касательной к траектории.
Нормальное ускорение указывает, насколько быстро скорость тела изменяется по направлению.
Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 1.1.6).
|
Рисунок 1.1.6. Движение по дугам окружностей |
Нормальное ускорение зависит от модуля скорости υ и от радиуса R окружности, по дуге которой тело движется в данный момент:
|
Вектор всегда направлен к центру окружности (см. §1.6).
Определение скорости и ускорения при вектором способе задания движения м.Т.
Пусть движение задано в прямоугольной системе координат Oxyz, которую мы принимаем за неподвижную, и нам известны законы изменения координат точки: x = x(t); y = y(t) ; z = z(t).
дифференцируем, учитывая, что единичные векторы осей координат постоянны:
|
(2) |
Проекциями вектора ускорения на оси координат являются сомножители перед единичными векторами в равенстве (2), следовательно,
|
(3) |
Зная проекции ускорения на оси координат, можно определить величину вектора ускорения:
|
(4) |
Направляющие косинусы, определяющие направление вектора ускорения в системе координат, будут равны
|
(5) |
Формулу (2) можно использовать для геометрического построения вектора ускорения. Представляя вектор ускорения как сумму трех взаимно перпендикулярных составляющих
|
(6) |
где
|
(7) |
а затем геометрически сложив их, найдем вектор ускорения. При построении составляющих по формулам (7) нужно учитывать знаки вторых производных координат точки. Если они положительны, то направления составляющих совпадают с направлениями единичных векторов, если они отрицательны, то составляющие направлены в противоположную сторону.