20. Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.

Між прямою та двоїстою задачами лінійного програмування існує тісний взаємозв’язок, який випливає з наведених далі теорем.

Перша теорема двоїстості. Якщо одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, то інша задача також має розв’язок, причому значення цільових функцій для оптимальних планів дорівнюють одне одному, тобто max Z = min F, і навпаки.

Якщо ж цільова функція однієї з пари двоїстих задач не обмежена, то друга задача взагалі не має розв’язків.

Якщо пряма задача лінійного програмування має оптимальний план Х ^*, визначений симплекс-методом, то оптимальний план двоїстої задачі Y ^* визначається зі співвідношення

,

де — вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при змінних, які є базисними в оптимальному плані; — матриця, обернена до матриці D, складеної з базисних векторів оптимального плану, компоненти яких узято з початкового опорного плану задачі. Обернена матриця завжди міститься в останній симплекс-таблиці в тих стовпчиках, де в першій таблиці містилася одинична матриця.

За допомогою зазначеного співвідношення під час визначення оптимального плану однієї з пари двоїстих задач лінійного програмування знаходять розв’язок іншої задачі.

Друга теорема двоїстості. Якщо в результаті підстановки оптимального плану прямої задачі в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідний і-й компонент оптимального плану двоїстої задачі дорівнює нулю.

Якщо і-й компонент оптимального плану двоїстої задачі додат­ний, то відповідне і-те обмеження прямої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.

Третя теорема двоїстості. Двоїста оцінка характеризує приріст цільової функції, який зумовлений малими змінами вільного члена відповідного обмеження.

Економічний зміст третьої теореми двоїстості полягає в тому, що відповідна додатна оцінка показує зростання значення цільової функції прямої задачі, якщо запас відповідного дефіцитного ресурсу збільшується на одну одиницю.

21.Застосування теорем двоїстості в розв’язуванні задач лінійного програмування.

Двоїсті задачі мають чітку геометричну та економічну інтерпретацію. Теореми двоїстості широко використовуються в еконо- мічних дослідженнях. У 70-х роках у Радянському Союзі велась дис­кусія з приводу використання двоїстих оцінок в економіці. Економісти того часу недооцінювали цю важливу економічну категорію. Проблема полягала ще й у тому, що ціни в Радянському Союзі не були обґрунтованими, не враховувались реальні витрати живої та уречевленої праці, попит і пропозиція на продукцію. Радянські економісти не розуміли, що недефіцитні ресурси мають нульову оцінку.

[Див. пит. 19]

22. Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей. Оцінка рентабельності продукції. Доцільність введення нової продукції.

Задачі математичного програмування поділяються на два великі класи лінійні та нелінійні. Якщо цільова функція (1.2) та обмеження (1.3) є лінійними функціями, тобто вони містять змінні Хj у першому або нульовому степені. В усіх інших випадках задача буде нелінійною. Важливою перевагою лінійних задач є те, що для їх розв’язування розроблено універсальний метод, який називається симплексним методом. Теоретично кожну задачу лінійного програмування можна розв’язати. Для деяких класів лінійних задач, що мають особливу структуру, розробляють спеціальні методи розв’язування, які є ефективнішими. Наприклад, транспортну задачу можна розв’язати симплексним методом, але ефективнішими є спеціальні методи, наприклад метод потенціалів.

Оцінку рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, можна здійснювати за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.

Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю відповідних ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (сj), то виготовляти таку продукцію невигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна їй змінна хj = 0. Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна хj > 0.

Підставимо значення оптимального плану двоїстої задачі Y* у її систему обмежень. Якщо вартість ресурсів на виробництво одиниці продукції (ліва частина обмеження) перевищує ціну цієї продукції (права частина обмеження), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Аналогічні результати можна дістати, проаналізувавши додаткові змінні оптимального плану двоїстої задачі (§ 4.2). Як з’ясовано вище, значення додаткових змінних показують, наскільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна. І, навпаки, якщо уі > 0, то відповідна продукція нерентабельна.

Оптимальні значення у4 = 5 > 0; у5 = 5/2 > 0, тому продукція А і В нерентабельна, а у6 = 0; у7 = 0, тобто продукція С і D — рентабельна.

Дослідимо питання про доцільність введення нового (n + 1)-го виду продукції, якщо відомі витрати кожного ресурсу на виготовлення одиниці такої продукції — і ціна її реалізації — . За умови введення у виробництво нового виду продукції в економіко-математичну модель (4.7) необхідно ввести відповідну змінну (хn+1). Отже, модель прямої задачі набуде вигляду:

Відповідна математична модель двоїстої задачі міститиме не n, а (n + 1) нерівність і відрізнятиметься від (4.8) наявністю обмеження, що описує витрати на виробництво нового виду продукції:

(4.9)

Оскільки значення і за умовою задачі відомі, розраховані також значення , то можна перевірити виконання нерівності (4.9). Як зазначено вище, рентабельною є продукція, для якої відповідне обмеження виконується як рівняння, а нерентабельною, якщо ліва частина нерівності (витрати ресурсів на виробництво одиниці продукції) перевищує праву (ціну реалізації одиниці продукції).

Допустимо, що за умов прикладу 4.1 запропоновано включити у виробництво один з двох видів нової продукції: E чи G. Відомі витрати кожного ресурсу на виготовлення одиниці цих видів продукції, що становлять для продукції виду E відповідно 4, 7, 2 ум. од. та для продукції виду G — 4, 8, 1 ум. од. Ціна реалізації одиниці продукції обох нових видів однакова і дорівнює 4,5 ум. од.

Складемо відповідне обмеження двоїстої задачі. Наступний вид продукції буде позначатися через х5, тому маємо:

Перевіримо виконання обмеження спочатку для продукції виду Е:

Обмеження виконується як строга нерівність, отже, за умов даного підприємства виробництво продукції Е є недоцільним.

Зауважимо, що остання нерівність визначає мінімальне значення ціни реалізації одиниці продукції, за якої її випуск є рентабельним. Отже, ціна одиниці продукції Е за даних умов має становити не менше 6 ум. од.

Визначимо співвідношення між витратами на виробництво та ціною для продукції G:

З останньої нерівності маємо, що витрати на виробництво одиниці продукції G менші, ніж ціна реалізації. Така продукція є рентабельною за умов виробництва, на даному підприємстві і її доцільно включити в план випуску.

Для визначення оптимального плану виробництва із введеним додатково видом продукції обов’язково необхідно розв’язати нову задачу лінійного програмування. Двоїсті оцінки лише показують, доцільне чи ні розв’язання такої задачі.