13.Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (3.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (3.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (3.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

14.Побудова опорного плану задачі лінійного програмування, перехід до іншого опорного плану.

Опорний план ЗЛП будується за законами методу, яким розв»язується дана задача (тобто, якщо це симплекс метод, то будуємо симплекс таблицю з базисними векторами, якщо це транспортна задача – то опорний план можна будувати за методом пн.-західного кута чи методом найменшої вартості або подвійної переваги). Далі опорний план перевіряється на оптимальність і якщо він не задовольняє умови оптимальності, від нього переходять до нового опорного плану, виконавши певний алгоритм дій, частіше всього зі змінною, яка найбільше не задовольняє умови оптимальності

15.Теорема про оптимальність розв’язку задачі лінійного програмування симплекс-методом.

- коефіцієнт функціонала, що відповідає вектору , та (їх називають оцінками відповідних векторів плану) . Тоді справедливим є таке твердження (умова оптимальності плану задачі лінійного програмування): якщо для деякого плану розклад всіх векторів у даному базисі задовольняє умову: (для задачі на макс) , то план є оптимальним

розв’язком задачі лінійного програмування.

16. Знаходженння розв’язку задачі лінійного програмування. Алгоритм симплексного методу.

Для розв”язування двовимірних задач лінійного програмування, використовують графічний та симплексний методи. Графічний метод грунтується на геометричній інтерпретації та аналітичних властивостях задач лінійного програмування. Розв”зяати ЗЛП графічно означає знайти таку вершину многокутника розв”язків, у результаті підставляння кооридант якої в цільову функцію, вона набуває найбільшого (найменшого значення).

Алгоритм графічного методу

1. будуємо прямі лінії, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі знаків нерівностей на знаки рівностей

2. визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо многокутник розв”язків задачі лінійного програмування

4. будуємо градієнт N, що задає напрям зростання значень цільової функції

5. Будуємо пряму перепендикулярну градієнту

6. переміщуючи перпендикуляр в напрямі градієнта (для задач максиміз.) чи навпаки (для мініміз), знаходимо вершину многокутника розв”язків, де цільова функція досягає екстремального значення

7. визначаємо координати точки, в якій цільова функція набуває макс(мін) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в точці.

Симплекс-метод – поетапна обчислювальна процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпшення значень цільової функції переходом від одного опорного плану задачі лін програмув до іншого.

Алгоритм симплекс

1. визначення початкового опорного плану злп

2. побудова симплексної таблиці

3. перевірка опорного плану на оптимальність за доп. оцінок Zj-Cj. Якщо всі оцінки задовольняють умову опитимальності, то план є оптимальним. Якщо не задовольняє – переходять до іншого опорного плану

4. перехід до нового опорного плану задачі виконується визначенням розв”язувального елемента та розрахунком нової симплексної таблиці

5. повторення дії починаючи з п.3