1. 70. Логарифмические частотные характеристики лачх и лфчх.

Учитывая связь пердаточной функции с импульсной переходной функцией, в соответствии с прямим изображением Лапласа, по формуле и выражении интеграла Фурье, частотная передаточная функция являеться изображением Фурье его импульсной переходной функции (функции веса) или иначе интегральным преобразованием Фурье:

,

где - функциявеса.

С другойсторонычастотнаяфункцияопределяетьсяамплитудой и фазой при еёпредставлении в виде комплексного числа:

.

где A(w)- модуль частотной передаточной функции; u(w), v(w) – вещественная и мнимая систавляющая частотной передаточной функции.

При этом частотная передаточная функция:

, где - соответственно. Комплексноевыражениесигналов на выходе и на входе, которые в свою очередьсоответственноравны: ,

.

Отношениесигналов к в видепоказательных функцій непосредственноприводит к выражениючастотнойпередаточнойфункции.

Прологарифмировавполучим:

, гдевещественнаячасть – представляет логарифм модуля , а мнимая – здвиг фазысигнала на выходе .

Таким образом, согласноформуле, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению вещественной части в виде логарифма модуля, а мнимая часть – в виде сдвига фазового угла на выходе.

Практически целеобразно использование десятичных логарифмов и по отдельности строить логарифмическую амплитудно-частотную и логарифмическую фазо-частотную характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ). Посредствам десятичных логарифмов вещественную часть можно подставить в виде: .

Эта величина имеет размерность в децебелах, Бел- логарифмическая единица, равняется 10 кратному увеличению мощности, тоесть 1бел-соответсвует увеличению мощьности в 10 раз, 2 бела –в 100раз, 3 бела- в 1000 раз и т.д. Децибел равен 0.1 бела.

Так как характеризуетперемещение, скорости, так, какмощности, то увеличениемощности в 100 раз, согласноформуле , соответствует 2 белам=20 децибелам. Этимобьясняетьсяналичиемножителя 20 в правой части формулы. В частности 1 децибел соответствуетизменениюамплитуды в раз, чтопредставляетнеисчислительную величину.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ по оси абсцисс откладивается учитывая частоту в логарифмическом масштабе, т.е. , которыйсоответствует частотаwв рад/с.

По оси ординат откладывается модуль частотной передаточной функции в децибелах и шкала является равномерной. Ось абсцисс проходит через точку О дБ, что соответсвует значению модуля А(w)=1, т.е. .

Удесятирениечастоты по шкалеабсцисссоответствуютоднойдекаде и приращениюшкалы на , рис.13. Кроме того, граду совка шкалыабсциссможетвыполняться в октавах, чтосоответствуетудвоениючастоты, т.е . Тогда 1 октава равна 0.303 декады. При этом шкала обозначается не в единицахчастоты, а в единицах логарифма частоты, чтоснижаетприемуществоприминениялогарифмических шкал.

Достоинствологарифмических характеристик состоит в том, чтопроизведениесомножителейзаменяетсяихсуммированием. Согласно ЛАЧХ, какуравнениепрямой с угловымкоэфициентомнаклонаравным 20дб/с, изображается обрезками прямых линий с наклонами.

Так при построении ЛАЧХ для частотной характеристики равный постоянному числу, т.е. при , по формуле и на графикеэтопрямая паралельна оси абсцисс (прямая 1) рис.13.

При по формуле - 20lgwи на графике – это прямая, проходящая через точку с координатой и иимеяотрицательныйнаклон 20дб/дек., т.к. каждоеудесятирениечастотывызывает на 1 единицу, т.е. уменшение на 20 дб, прямая 2, наклон 20дб/с≈6дб/октаву, т.к

Точка пересечения прямой с осьюабсцисс, когда дБ, называютчастотойсреза ЛАЧХ и для данногослучая , т.е, когда . Откудаследует, что и k имеет туже фазочастоту, что и .

Рис.13 Построение ЛАЧХ: а) для частотной передаточной функции с , б) для .

Устойчивостьдинамическойсистемы по логарифмическим частотам xпрактическимопределяется с использованиемкритериянейквиста. Критической точка, где модуль АФЧХ рамен 1, соответствуетточкепересечения ЛАЧХ с осьюабсцисс на частотесреза Точка пересечения АФЧХ с линей- π соответствует фазовому здвигу 180º. Замкнутая система считаетсяустойчивой, корда на частоте , для которой ордината ЛАЧХ разомкнутой системыотрицательная, т.е. , рис.14а. Еслиразомкнутая система устойчива, ЛАЧХ пересекаетлинию- π несколько раз, то ордината ЛАЧХ при в последнейточкепересечения рис.14б.

Система неустойчива для случая показаного на рисунке 14в.

Рис.14 – ЛАЧХ И ЛФЧХ для оченки устойчивости системы: а),б) – система устойчива; в) –система неустойчива.

Запас устойчивости системы по амплитуде фазе оценивается отрезками Lи φ как показано на рис.14. Запас устойчивости по амплитуде оказывает на сколько децибел необходимо увеличить коэфициент усиления по частоте, соответствующей фазовому сдвигу чтобы система стала устойчивой. Запас устойчивости по фазе . Условияудолетворительногокачестварегулирования : . -для систем САУ.

Последовательностьпостроения ЛАЧХ и некоторыеметодическиеуказания.

1. Определяетьсясопрягающиечастоты, в которыхграфикL(w) имеет идеомы. На оси абсцисс в логарифмическом масштабе откладывается значение сопряженных частот. Расчетные значения сопряжаемых частот определяется из соотношения , где Тi – постоянная времени соответствующего элемента САУ.

2. Строится низкочастотная прямая ЛАЧХ для і наклоном - 20μ, гдеμ-число интегрирующихзвеньев с главной цепи системы. Эта прямая при имеет ординату , гдек-передаточныйкоэфициентсистемы.

3. НАклонпрямой ЛАЧХ относительнопредыдущегоучастка для каждойсопрягающейчастоты зависит от типа динамическогозвена(для дифференцирующегозвена от состовляющей 20дб/дек; для апериодического и интегрирующего - 20дб/дек; для колебательного – 40дб/дек.)

4. Сдвиг фаз выходныхсигналовотносительновходных для ЛФЧХ в случаеапериодическогозвенасоставляющей - ; для идеального и реального дифференцирующих звеньев, соответственно , для интегрирующего ; для колебательного

71.

Лекция №11 Определение устойчивости по логарифмическим характеристикам. Критерий устойчивости Найквиста: В Wраз заменяем s на jω. Для нескольких значений ω рассчитываем точки комплексной плоскости и строим годограф. Если годограф не охватывает критическую точку (-1; j0), значит система устойчивая. Иначе – система неустойчивая. Рисунок 1 Устойчивая система

Рисунок 2 Неустойчивая система Идея определения устойчивости системы по логарифмическим характеристикам базируется на критерии устойчивости Найквиста.