81. Дискретная передаточная функция замкнутой системы с цифровой вычислительной машиной в контуре управления:
Структурная схема замкнутой САУ с ЦВМ показана на рис.1. Совокупность исполнительного органа, объекта регулирования и чувствительного элемента характеризуют и составляют непрерывную часть системы. Передаточная функция непрерывную часть системы равна произведению передаточных функций из входящих непрерывную часть элементов:
,
где
– передаточные функции исполнительного
органа, объекта регулирования,
чувствительного элемента.
Совокупность преобразователя код-аналог (ЦАП) с передаточной функцией по формуле (2) и непрерывной части системы назовём приведенной непрерывной частью, причем её передаточная функция
равна:
(23)
Так как преобразователь аналог –код (АЦП)представляет простейший импульсный элемент, то замкнутая САУ может быть представлена соединением с обратной связью двух дискретных динамических звеньев, рис.5.
Рис.5. Замкнутая дискретная система автоматического управления
Через обозначена передаточная функция вычислительного устройства, реализующего алгоритм управления.
В прямой цепи приведенной структурной схемы имеется дискретное динамическое звено. Найдем его дискретную передаточную функцию. Импульсная переходная функция приведена непрерывной части равна (из ф.(23) и (2)):
. (24)
Так как обратное преобразование Лапласа от непрерывной функции звена деленной на Sравно переходной функции этого звена h(t) то формула (24) будет:
. (25)
Переходя от непрерывной к решетчатой, формула (25) преобразуется к виду:
. (26)
Применим к обеим частям (26) операцию Z-преобразование по формуле (21):
.
(27)
Передаточная функция замкнутой дискретной системы равна:
, (28)
где знак + определяется отрицательной обратной связью.
82. Устойчивость дискретных замкнутых систем автоматического управления
Характеристическое управление замкнутой дискретной системы автоматического управления получается, приравняв знаменатель передаточной функции (28) нулю:
(29)
Непрерывная замкнутая система устойчива, когда все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости плоскости корней. Границей устойчивости в плоскости комплексной величины Sявляется мнимая ось. Для построения границы области устойчивости проводим замену S=jω, где ω изменяется в пределах от -∞ до +∞.
Для
получения области устойчивости дискретной
системы в плоскости комплексной величины
рассмотрим связь между комплексными
величинами S
и
по формуле (11), т.е.
.
Далее выполнив замену S=jω,
получим:
. (30)
Соответственно модуль и аргумент комплексной величины (30) равны:
.
При
изменении ω
от нуля до
в плоскости
получается окружность единичного
радиуса, представляющая собой границу
области устойчивости.
Условием устойчивости замкнутой системы является нахождение корней характеристического управления (29) внутри круга единичного радиуса.
Однако вычисление корней характеристического уравнения (29) является сложной процедурой. Поэтому для исследования устойчивости для дискретных систем часто используют метод W-преобразования (28). Из теории комплексного переменного известно, что с помощью билинейного преобразования
(31)
единичный круг в комплексной плоскости изображается в левую часть комплексной плоскости W. В характеристическом уравнении (29) вместо Zподставим его выражение из (31):
После приведения к общему знаменателю, получим новое характеристическое уравнение
(32)
того же порядка, что и уравнение (29).
Корнями характеристического уравнения (29), лежащим внутри круга единичного радиуса плоскостей корней , будут соответствовать корни характеристического уравнения (32), лежащее в левой полуплоскости корней W. Поэтому условием устойчивости дискретной системы является расположение всех корней преобразованного уравнения (32) в левой части плоскости.
Окончательно, при применении W-преобразования все критерии устойчивости, известные для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы и для анализа устойчивости дискретных систем.