26. Математическое ожидание непрерывной случайной величины и его свойства

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Все свойства такие же, как и для дискретных случ величин

(1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.      2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).      3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).      4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XYZ) = M(X)M(Y)M(Z). Все эти свойства имеют большое практическое значение.)

27. Дисперсия непрерывной случайной величины и её свойства. Среднее квадратическое отклонение св.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Все свойства такие же, как и для дискретных случ величин(1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю : D ( C ) = 0.        2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат : D ( CX ) = C ²D ( X ).        3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:            D ( X+Y+Z ) = D ( X )+D ( Y )+D ( Z ).        4. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной - равна дисперсии случайной величины: D ( C+X ) = D ( X ).      Дисперсию обозначают также как s ² с нижним индексом, обозначающим соответствующую случайную величину или без него.)

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

28. Начальные и центральные моменты случайных величин. Выражение мат.Ожидания и дисперсии св через моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени случайной величины , то есть .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется величина , определяемая формулой .

На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для математического ожидания биномиально распределенной случайной величины.

Альтернативно распределенная случайная величина: неуспех успех

Хi	0	1
P	q	p

M(Xi)=0*q + !*p = p

X = X1+X2+…+Xn

M(X) = M(X1+X2+…+Xn) = M(X1)+M(X2)+…+M(Xn) = n*p

M(X) = n*p – для биномиального закона

На основе закона распределения альтернативно распределенной случайной величины получить выражение для дисперсии биномиально распределенной случайной величины.

Альтернативно распределенная случайная величина: неуспех успех

Хi	0	1
P	q	p

D(Xi) = M(Xi^2) – M^2(Xi) = 0^2*q + 1^2*p – p^2 = p*(1-p) = p*q

X = X1+X2+…+Xn

D(X) = D(X1+X2+…+Xn) = D(X1)+D(X2)+…+D(Xn) = n*p*q - для биномиального закона

29. Нахождение вероятности попадания случайной величины в заданный интервал через , через , через ряд распределения. Вероятность принять конкретное числовое значение для дискретной и непрерывной случайной величины.

вероятность того, что случайна величина Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a<X<b)=F(b)-F(a)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством:

b

P(a<X<b)=∫f(x)dx

А

Через ряд распределения посмотрите задачу №260 Гмурмана, там на примере написано и несложно, если что я завтра объясню)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, например х1, равна нулю:

P(X= х1)=0