46. Функция Лапласа, ее свойства.
Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
^ - обозначила степень, потому что степень в степени изобразить не получается, а скобками () обозначила то, что в степень возводится. Смотрите внимательно!!!
Р
(а
Х
b)
= 
= 
((x-m)^2)/2(σ^2)
dx
Обозначим
= t,
= α,
= β
Тогда
Р(а
)
=
–(t^2)
σ
dt
= 
–(t^2)
dt
= 
[ Ф(β) – Ф(α)]
Так
как интеграл 
-(t^2)
dt
не выражается через элементарные
функции, то вводится в рассмотрение
функция
Ф(х)
= 
–(t^2)
dt,
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х подсчитаны и приводятся в специальных таблицах.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
Ф(0) = 0
Ф (-х) = -Ф(х)
Ф(¥) = 1
Функцию Лапласа называют также функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
(х)=
Ф(
)
= 
–(t^2)/2
dt.
47. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на отрезок, правило «трех сигм».
Большинство задач с использованием нормального распределения (как и других законов распределения абсолютно непрерывных случайных величин) сводится к определению вероятности попадания на отрезок.
Поскольку интеграл от нормальной плотности не табличный, то приходится пользоваться таблицами для интегралов от стандартной нормальной плотности в форме функции Лапласа:
Ф(x)
= 
,
считая
эту функцию определенной для любых
-
,
при этом
Ф(-х) - -Ф(х), т.е. функции Лапласа нечетна, ее значения для х>0 приведены в специальной таблице.
Итак, пусть X~ N(a,σ), найдем вероятность попадания на отрезок [b,c]:
P{b
X
C}
= P
{
При решении конкретных практических задач можно заново проделывать все выкладки, либо пользоваться окончательным результатом:
P{b
Правило «Трех сигм»
Теоретически
нормальная плотность вероятности
отлична от 0 в любой, даже очень отдаленной
от а точки х, однако практически почти
вся вероятность сосредоточена на отрезке
а
3σ
(отсюда и название.
В самом деле,
P{a-3σ
Таким образом, вероятность попадания вне этого отрезка равна всего 0,0027.
48. Функции случайных величин и их числовые характеристики.
Случайной величиной называется числовая функция X(ω), заданная на пространстве элементарных событий Ω и измеримая1 относительно σ-поля событий S. Далее случайные величины будут обозначаться прописными латинскими буквами (например, X, Y, Z) или строчными греческими (например, ξ, η, ζ).
Законом распределения вероятностей случайной величины называется правило, устанавливающее соответствие между значениями этой случайной величины (или множествами значений) и вероятностями того, что случайная величина примет данное значение (или попадет в соответствующее множество).
Функцией распределения вероятностей (или, короче, функцией распределения) случайной величины X называется функция2 (индекс)
FX(x) = P{X < x}, x э( в другую сторону) R.
Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: F(x) = FX(x).
Как числовая функция от числового аргумента x, функция распределения F(x) произвольной случайной величины обладает следующими свойствами:
для любого x э(в другую сторону) R 0 <либо равно F(x) < либо равно 1;
F(-бесконечность)= lim( x-> -бесконечности) F(x)=0
F(+бесконечность) = lim (x-> +бесконечности) F(x)=1
F(x) является неубывающей функцией, т. е. для любых x1, x2 э(в другую сторону) R, таких что x1 < x2
F(x1) < F(x2);
F(x) непрерывна слева, т. е. для любого x э(в другую сторону) R
F(x)=F(x-0)=lim (z-> x, z<x) F(z)
Для любой случайной величины X и любых чисел x1, x2 э(в другую сторону) R, таких что x1 < x2, вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал [x1; x2) можно рассчитать по формуле
P{x1 <либо равно X < x2} = F(x2) – F(x1).
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если для всех x, y э(в другую сторону) R
P{(X < x)подковка(Y < y)} = P{X < x}P{Y < y}, (2.1.8)
т. е. если для всех x, y э(в другую сторону) R события {X < x} и {Y < y}
независимы.