6.6. Эффективность двоичных кодов бчх
Для оценки эффективности кодов БЧХ воспользуемся теоремой 5.1, позволяющей установить соотношение между корректирующей способностью кода и его параметрами n и k.
Пусть для циклического
(n, k)
– кода справедливо
для некоторого l,
откуда
.
Тогда кратность исправляемых ошибок этим кодов определяется как
.
Минимальное кодовое расстояние может быть найдено из известного соотношения
.
Этих сведений достаточно для краткого анализа эффективности циклического кода в реальном канале с известными параметрами р и α.
Для режима исправления ошибок выигрыш по достоверности по сравнению с простым кодом равен
.
Для режима обнаружения ошибок выигрыш составляет
.
Существенным является тот факт, что при исправлении ошибок теоретически возможно обеспечение любой степени повышения достоверности за счет увеличения длины кода n и числа избыточных элементов n - k. Однако практическая реализация таких кодов вызвала бы серьезные затруднения.
Рассмотрим пример.
Пример 6.12.
Пусть некоторый реальный канал
характеризуется параметрами
Найти циклический (n, k) – код, повышающий достоверность передачи на 1 десятичный порядок путем исправления ошибок, т.е. требуется найти код, для которого
Определим сначала необходимое количество избыточных элементов . Составим уравнение:
откуда
или
.
Потребное число избыточных элементов
.
Для нахождения кода с данным числом избыточных элементов составим таблицу
N |
|
|
7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191 |
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 |
Из построенной таблицы видно, что требуемой эффективностью обладают коды с п>1000.
В частности, данной эффективностью обладают коды (1023, 10) и (1023,20), для которых эффективность равна
и
.
Сравнение значения
для
в режимах исправления и обнаружения
позволяет сделать вывод, что режим
обнаружения эффективнее исправления
для одного и того же кода и канала в
раз. Например, для кода (1023,10) из предыдущего
примера эффективность при обнаружении
ошибки равна
.
6.6.1. Задачи
1. Построить все
циклические коды на основе разложения
двучлена
Ниже приведены сомножители и
последовательности степени их корней.
Сомножитель Степени корней
x+1 0=15
x4+x+1 1 2 4 8
x4+x3 +x2 +x+1 3 6 9 12
x2+x+1 5 10
x4+x3 +1 7 11 13 14
2. Определить корректирующие свойства циклического (15,11) – кода
а) с g(x)=1+x+x4;
б) с g(x)=1+x3+x4;
в) с g(x)=1+x+x2+x3+x4.
3. Определить корректирующие свойства циклического (15,7) – кода
а) с g(x)=(1+x+x4)(1+x3+x4);
б) с g(x)=(1+x+x4)(1+x+x2+x3+x4)
в) с g(x)=(1+x3+x4)(1+x+x+x2+x3+x4)
4. Построить порождающую матрицу и матрицу проверок для укороченного циклического (10,5) – кода, полученного из (15,10) – кода с g(x)=(1+x)(1+x+x4).
Определить dmin (10,5) – кода.
5. Привести матрицу проверок H(7,4),построенную в примере 6.5 к канонической форме.
6. Показать, что поле GF(23) с примитивным элементом α, являющимся корнем неприводимого многочлена π(x)=1+x+x3 , может быть представлено в следующем виде:
Степень |
Многочлен |
Вектор |
0 1 α α2 α3 α4 α5 α6 α7=1 |
0 1 α α2 1 + α α + α2 1 + α + α2 1 + α2 1 |
000 100 010 001 110 011 111 101 100 |