5.3.3. Укорочение кода

На основе группового (n, k) – кода можно построить также групповой (n- i, k-i) – код, если в каждой кодовой комбинации (n, k) – кода исключить i информационных символов.

Порождающая матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы матрицы G_{(n, k)} вычеркиванием i последних строк и i последних столбцов. Проверочная матрица (n- i, k-i) – кода получается из канонической формы Н_(n,k) вычеркиванием i последних столбцов. Поскольку при этом число линейно зависимых столбцов матрицы проверок уменьшиться не может, то d_min нового кода и его корректирующие свойства не хуже, чем у исходного кода.

Коды, построенные таким образом, принято называть укороченными кодами.

Пример 5.11. Из известного кода (5, 3) получить код (4, 2).

Вычеркиваем из матрицы G_(5,3) третью строку и пятый столбец, а из матрицы Н_(5,3) пятый столбец. В результате получаем порождающую матрицу и матрицу проверок кода (4, 2):

.

Минимальное число линейно независимых столбцов матрицы Н_(4,2) по-прежнему равно 2. Следовательно, и d_min этого кода равно 2.

5.3.4. Оценка эффективности групповых кодов

В качестве оценки помехозащищенности помехоустойчивого кода используется вероятность ошибочного приема кодовой комбинации. Для расчета этой вероятности должны быть известны следующие характеристики кода и дискретного канала:

- функция ошибок, принимающая значения 0 и 1 и указывающая

выявляется или не выявляется данным кодом конкретный j–тый образец i-кратной ошибки; j принимает значения чисел натурального ряда от 1 до ; i изменяется от 1 до n.

- вероятность появления j-го образца i-кратной ошибки в дискретном канале; определяется либо в результате статистических испытаний, либо вычисляется аналитически, если известен характер распределения ошибок и математический закон их описания.

Вероятность ошибочного приема кодовой комбинации может быть определена как

.

Это – точная формула. Однако, в большинстве практических случаев расчеты по данной формуле затруднительны. В тех случаях, когда можно считать вероятности появления различных образцов ошибок кратности i достаточно близкими по значению, т.е.

приведенная выше формула упрощается и принимает вид

,

где - число вариантов, не выявляемых кодом ошибок кратности i. Очевидно, что

.

-вероятность появления в дискретном канале ошибки кратности i.

.

Если известно, что данный помехоустойчивый код гарантийно выявляет (исправляет или обнаруживает в зависимости от режима использования кода) все ошибки кратности и менее, то пределы суммирования можно уточнить

.

Отношение можно рассматривать как долю невыявляемых ошибок кратности i от общего числа возможных ошибок этой кратности.

При использовании процесса декодирования, описанного в разделе 3.2, формула уточняется в соответствии с используемым режимом кода. Рассмотрим возможные режимы использования кода.

Одним из возможных режимов является исправление ошибок.

Ложное отождествление принятой комбинации с одной из разрешенных происходит в том случае, когда в комбинации имеет место ошибка, кратность которой превышает кратность гарантийно исправляемых ошибок и которая не вошла в число образующих смежных классов.

Пусть код гарантийно исправляет все ошибки кратности до t включительно. Вероятность появления в кодовой комбинации неисправляемых ошибок равна

.

Из общего числа возможных ошибок кратности большей, чем t, к ошибочному результату при декодировании с исправлением приводят те, под воздействием которых искаженные комбинации попадут в смежные классы, соответствующие исправляемым образцам ошибок. В предположении, что комбинации с ошибками кратности t+1 и выше равномерно распределяются по смежным классам таблицы декодирования, общая доля ошибочных исходов при исправлении ошибок кратности t+1 и выше составит величину

.

Итак, вероятность ошибочного приема кодовой комбинации при исправлении ошибок равна

.

Другой возможный режим – это обнаружение ошибок. Пусть код обнаруживает все варианты S – кратных ошибок и все ошибки меньшей кратности. В этом случае ошибка возможна лишь тогда, когда кодовая комбинация, искаженная ошибкой кратности большей S, трансформируется в разрешенную кодовую комбинацию, т.е. попадает в первую строку таблицы декодирования. Так как общее число строк в таблице декодирования равно 2^n-k, то доля исходов, приводящих к ошибке, в этом случае равна .

Другими словами, это же явление можно пояснить следующим образом. При оценке результата декодирования с помощью синдрома ошибка возможна лишь в том случае, когда кодовой комбинации, пораженной ошибками кратности большей S, соответствует чисто нулевой синдром (трансформация в разрешенную комбинацию). Если при поражении кодовой комбинации ошибками кратности большей S синдром не принимает чисто нулевое значение (трансформация в запрещенную комбинацию), то ошибки обнаруживаются.

При условии равномерного распределения кодовых комбинаций, пораженных ошибками кратности большей S, по возможным значениям синдрома имеем общее число возможных исходов равным 2^n-k, при числе исходов, приводящих к ошибке – равным 1. Итак, доля не обнаруживаемых искажений кодовой комбинации равна . Данный результат уточняет значение доли необнаруживаемых ошибочных трансформаций, выведенной в разделе 5.1.2. на случай групповых кодов:

.

Вероятность ошибочного приема в этом случае равна

.

Возможен такой режим декодирования, при котором часть ошибок исправляется, а часть обнаруживается. Пусть код имеет минимальное кодовое расстояние d_min. В том случае, когда этот код используется для исправления ошибок кратности и гарантийного обнаружения ошибок кратности до S=d-t'-1 включительно, вероятность ошибочного приема кодовой комбинации в дискретном приемнике равна

.

Полученные выше формулы можно использовать для расчетов, когда известна вероятность .

Приведем сводку расчетных формул для случая двоичного симметричного канала и канала с группированием ошибок (модель )

Режим декодирования	Вероятность ошибки	Двоичный симметричный канал	Модель
Исправление ошибок
Обнаружение ошибок
Частичное исправление и обнаружение ошибок

В этой таблице d=dmin.