- •Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Доказательство единственности решения
- •Билет 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 6. Линейное уравнение первого порядка
- •1 Случай.
- •Метод решения Первый способ
- •Второй способ
- •§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
- •Определение
- •Сходимость числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Радикальный признак Коши
- •Предельная форма
- •Доказательство
- •Примеры
- •Интегральный признак Коши
Определение
Пусть — числовой ряд. Число называется n-ой частичной суммой ряда .
Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм Sn, если он существует и конечен. Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.
Сходимость числовых рядов
Свойство 1. Если ряд
(1.1)
сходится и его сумма равна S, то ряд
(1.2)
где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд расходится.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд
,
а их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды
причём сумма каждого равна соответственно .
Необходимый признак сходимости ряда
Ряд u1 + u2 + u3 + ... + un + ... может сходиться лишь в том случае, когда член un (общий член ряда) стремится к нулю:
Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.
Достаточное: признак Даламбера (предел отношения n+1 и n членов ряда должен быть менее 1 - ряд сходиться, больше 1 - расходится, равен 1 фиг его знает, нужно применить другой метод). lim An+1/An = k<1 , n->oo(бесконечность) - ряд сходиться. Если не помогло, то интегральный признак сходимости ряда Коши, заменяем ряд непрерывной функцией(вместо n ставим х и интегрируем от 0 до бесконечности, ели данный интеграл существует, то и ряд сходиться)
Билет 19.
Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
-
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство то данный ряд сходится. Радикальный признак Коши/рамка
Предельная форма
Условие радикального признака равносильно следующему:
То есть можно сформулировать радикальный признак сходимости знакоположительного ряда в предельной форме:
-
Если для ряда
, то
если l<1 ряд сходится,
если l>1 ряд расходится.
Радикальный признак Коши/рамка
ПримерыПравить
1. Ряд
сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака
2. Рассмотрим ряд
ряд сходится
-
Радикальный признак Коши
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши.
Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:
-
Если для числового ряда
с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.