- •Билет 1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Доказательство единственности решения
- •Билет 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка.
- •§ 6. Линейное уравнение первого порядка
- •1 Случай.
- •Метод решения Первый способ
- •Второй способ
- •§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
- •Определение
- •Сходимость числовых рядов
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Радикальный признак Коши
- •Предельная форма
- •Доказательство
- •Примеры
- •Интегральный признак Коши
Метод решения Первый способ
Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
тогда:
Подберем так, чтобы было
для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.
Билет 7.
§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
1°. Уравнение
(7.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:
dU=0 U=const=c
Например, уравнение xdy+ydx=0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0 и, значит, xy=c.
Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по x, то для того чтобы уравнение (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
(7.2)
Если условие (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде
(7.3)
либо
, (7.4)
где – произвольная точка в области задания функций M и N.
Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , в случае когда функции M и N не обращаются одновременно в 0 в точке , можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а можно в формулах (7.3) и (7.4) положить :
(7.5)
либо
(7.6)
Билет 8.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Если дифференциальное уравнение
F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0
содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.
Такое уравнение в нормальной форме имеет вид
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ).
Пусть D область определения функции f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ), D из Rn + 1 . Функция y = y(x) называется решением уравнения n–го порядка на отрезке [a; b] , если:
− при всех x ∈ [a; b] точка (x, y(x), y '(x) ,..., y(n −1) ) принадлежит области D;
− y = y(x) дифференцируема n раз на [a; b] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество y(n)(x) ≡ f (x, y(x), y '(x), ..., y(n - 1) (x) ).
График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.
Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n –го порядка таких условий должно быть n.
Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n–го порядка
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) )
называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y10, ..., y(n - 1) (x0) = y(n - 1)0 .
Здесь (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) фиксированная точка области D.
Любое фиксированное решение y = φ(x) — решение некоторой задачи Коши — называется частным решением уравнения .
Общим решением уравнения n –го порядка называется функция y = φ(x,C1,..., Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим требованиям:
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = φ(x,C1,..., Cn) является решением уравнения на [a;b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C1*,..., Cn* такие, что функция y = φ(x,C1*,..., Cn*) удовлетворяет начальным условиям
φ(x0,C1*,..., Cn*) = y0 , φ '(x0,C1*,..., Cn*) = y10, ..., φ(n - 1)(x0,C1*,... , Cn*) = y(n - 1)0 .
Равенство Φ(x,C1,..., Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения n –го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения .
Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.
К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида
Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка:
Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле
Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид
|
Билет 10. Линейное уравнение высших порядков. Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x). Коэффициенты уравнения an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] . y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка, y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка, Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка: L(y) ≡ y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y. L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи. При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и Ck [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.
Существование единственности. Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x), в которое неизвестная функция y = y(x) и все ее производные входят линейно. Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения. Если в уравнении y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) все коэффициенты ai(x) и правая часть f(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями y(a) = y0, y '(a) = y1,0 , ..., y(n − 1) (a) = yn,0 имеет единственное на всем отрезке [a;b] решение y = y(x) .
Следует понимать, что теорема имеет "глобальный" характер — решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.
|
Билет 11
Структура решения линейного неоднородного дифф. уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.
Билет 12
Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Обычно имеет те же свойства, что и соответствующее однородное уравнение — уравнение с отброшенным свободным членом.
Метод Лагранжа.
Задача состоит в вычислении какого–либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
с нерерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью.
Предположим, что известна фундаментальная система y1(x), y2(x),..., yn(x) решений соответствующего однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде
y*(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) ,
где C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.
Справедливо следующее утверждение.
Пусть y1(x), y2(x),..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде
y*(x) = y(x,C1,..., Cn) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) .
Неизвестные функции C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) находятся из системы
Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.
Пример:
Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью.
Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1(x) = ln x , y2(x) = x.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C1(x) lnx + C2(x) x:
Подставим выражения для производных в уравнение:
Для неизвестных функций C1(x), C2(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
Откуда имеем:
Билеты 13
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффциентами.
Билет 14
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Билет 15
Решение линейного однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Уравнение
(9.1) называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными ко-эффициентами; - постоянные вещественные числа. Если функция ) не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение с правой частью.
Уравнение
(9.2) называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами; - постоянные вещественные числа. Т. к. функция ) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой час-ти.
Уравнение (9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристичес-кими числами уравнения (9.2).
Система функций называется линейно независи-мой в интервале , если тождество ( - постоянные числа)
может выполняться только когда все . Если к тому же каждая из функций является частным решением однородного уравнения (9.2), то система решений одно-родного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает общее решение однородного уравнения (9.2), ( все - константы ).
1°. Однородное уравнение. Рассмотрим три случая.
(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
.
Функция дает общее решение одно-родного уравнения (9.2) ( все - константы ).
П. 9.1 .
Записываем характеристическое уравнение . Его корни ,
; фундаментальная система решений ;
- общее решение.
П. 9.2 . Начальные данные: при .
Корни характеристического уравнения . Общее ре-шение . Т. к. , то для определения костант
имеем два уравнения: . Значит, - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным.
(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть
комплексные.
Каждому вещественному корню по-прежнему соответствует частное решения , а каждой паре комплексных сопряженных корней соответствуют два линейно-независимых частных решения :
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют ве-щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П. 9.3
Находим корни характеристического уравнения или
. Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней (a=0, b=3, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаменталь-ная система решений : . Записываем общее решение
.
П. 9.4
Характеристическое уравнение: ,
, ( a=3, b=2 ). Фундаментальная система решений :
.
Общее решение .
П. 9.5 . Начальные данные: при .
Корни характеристического уравнения .
Фундаментальная система решений : .
Общее решение . Для определения констант находим .
.
При . Т.о. , частное решение, удов-летворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:
.
(♠♠♠) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
В этом случае каждому вещественному корню кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида
,
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
,
а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П. 9.6
Корни характеристического уравнения кратны, . Кратность вещественного корня . Фундаментальная система
решений : . Общее решение .
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно найти по формуле (формула верна и в том случае, когда коэффици-енты не являются константами) , где - частное решение неоднородного уравнения, а
- общее решение однородного уравнения .
Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо
найти общее решение однородного уравнения и частное решение
неоднородного .
Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид.
Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.
(♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).
Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
,
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число 0 является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
.
П. 9.10
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Число 0 не является корнем характеристи-ческого уравнения частное решение ищем в виде . Теперь сог-ласнорецепту следует подставить в исходное уравнение, однако обычно при-держиваются нижеследующей схеме.
-
-1
0
1
Во втором столбце стоят и производные, в первом - коэффициенты, с которыми входят в уравнение; в третьем столбце приравнены коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения; в четвертом столбце приведены значения найденных неопределенных коэффициентов. Т.о., частное решение
.
Общее решение .
П. 9.11
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Число 0 является корнем характеристи-ческого уравнения кратности частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.
-
0
-4
1
Т.о., . Общее решение .
П. 9.12
Корни характеристического уравнения . Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности . Общее решение одно-родного уравнения . Частное решение ищем в виде . Далее, согласно схеме.
-
0
-1
1
Т.о., . Общее решение .
(♠♠) , где - полином от степени (который, в частности, может быть константой, не равной нулю); - вещественное число.
Если число не является кратным корнем, то следует искать
в виде
,
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
.
П. 9.13 .
Начальные данные: при .
Число не является корнем характеристического уравнения ,
. Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .
0 |
|
|
-2 |
|
|
1 |
|
|
Решая уравнения, находим . Т.о., .
Общее решение . Решаем задачу Коши.
. Имеем
. Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид: .
П. 9.14
Число является простым корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
; общее решение .
П. 9.15
Число является двукратным корнем характеристического уравнения , . Общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде .
1 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., . Общее решение .
(♠♠♠) , где - полиномы от (которые, в частности, могут быть константами и один из них может быть равным нулю); - вещественные числа.
Пусть - наибольшая из степеней полиномов .
Если число не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
,
где - полиномы степени с неопределенными коэффициентами.
Если число является корнем кратности , то следует искать в виде
.
П. 9.16
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Т.к.., ; число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Значит, ; oбщее решение .
П. 9.17
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения . Т.к.., и число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .
-1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Решая уравнения, находим ; .
Oбщее решение .
П. 9.18
Корни характеристического уравнения . Общее решение од-нородного уравнения . Т.к.., ; и число не является корнем характеристического уравнения , то частное решение ищем в виде .
В данном случае пользоваться обычной схемой неудобно. Вначале находим производные .
Теперь следуем привычной схеме.
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., .
Общее решение .
П. 9.19
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения .
Т.к.., и число является корнем харак-теристического уравнения , то частное решение ищем в виде :
Находим производные .
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., ; общее решение .
П. 9.20 .
Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения
.
Т.к.., и число является двукратным
корнем характеристического уравнения , то частное решение имеет вид :
(♠♠♠♠) ,
где - функции стандартного вида.
В этом случае ,
где - частное решение, отвечающее функции .
П. 9.21
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения .
Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения , то частное решение ; функции отвечает .
Итак, .
Далее, поступаем по рецепту:
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, . Общее решение .
Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.
П. 9.22
Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к. , то
. Теперь правая часть имеет стандартный вид.
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения .
Т.к.. для функции и число является корнем характеристического уравнения , то частное решение ; функции отвечает .
Итак, .
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., . Общее решение .
П. 9.23 . Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения .
Т.к. , то .
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Метод пригоден для линей-ных уравнений (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фун-даментальная система соответствующего однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).
Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде
,
где - непрерывно дифференцируемые функции от x;
- фундаментальная система решений соответствующего однород-
ного уравнения; - порядок уравнения.
Функции определяются из системы:
где - правая часть заданного уравнения.
П. 9.24 .
Корни характеристического уравнения . Фундаментальная система решений: . Общее решение ищем в виде:
. Записываем систему:
, .
Интегрируя, находим :
,
где - постоянные интегрирования. Общее решение:
.
П. 9.25
Корни характеристического уравнения . Фундаментальная система решений: . Общее решение ищем в виде:
. Записываем систему:
,
= .
.
Общее решение .
П. 9.26 . Фундаментальная система решений задана :
. Общее решение ищем в виде:
. Записываем систему:
, .
,
. .
Общее решение
.
Билет 16
Числовые ряды. Сумма ряда.
,an> 0 . Признак Даламбера: , , если d <1 — ряд сходится, если d >1 — ряд расходится, если d =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Признак Коши: , , если c <1 — ряд сходится, если c >1 — ряд расходится, если c =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя. Знакочередующийся ряд: , . Если сходится ряд , то ряд — сходится а б с о л ю т н о. Если ряд расходится, а ряд сходится, то знакочередующийся ряд — сходится у с л о в н о. Признак Лейбница: если an, монотонно убывая, стремится к нулю, то ряд сходится и .
Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда an представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.