Метод решения Первый способ
Разделим все члены уравнения на
получим
Делая замену
и дифференцируя, получаем:
Это уравнение приводится к линейному:
и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.
Второй способ
Заменим
тогда:
Подберем 
так,
чтобы было
для
этого достаточно решить уравнение с
разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения 
получаем
уравнение 
—
уравнение с разделяющимися переменными.
Билет 7.
§ 7. Уравнение в полных дифференциалах
1°. Уравнение
(7.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:
dU=0 
U=const=c
Например, уравнение xdy+ydx=0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0 и, значит, xy=c.
Если функции M и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по x, то для того чтобы уравнение (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
(7.2)
Если условие (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде
(7.3)
либо
, (7.4)
где 
– произвольная
точка в области задания функций M и N.
Частное
решение, удовлетворяющее начальным
условиям 
, в
случае когда функции M и N не
обращаются одновременно в 0 в точке 
, можно
найти обычным путем, определив
константу c из
общего решения, а можно в
формулах (7.3) и (7.4) положить 
:
(7.5)
либо
(7.6)
Билет 8.
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Если дифференциальное уравнение
F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0
содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.
Такое уравнение в нормальной форме имеет вид
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ).
Пусть D область определения функции f (x, y, y ', ..., y(n - 1) ), D из Rn + 1 . Функция y = y(x) называется решением уравнения n–го порядка на отрезке [a; b] , если:
− при всех x ∈ [a; b] точка (x, y(x), y '(x) ,..., y(n −1) ) принадлежит области D;
− y = y(x) дифференцируема n раз на [a; b] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество y(n)(x) ≡ f (x, y(x), y '(x), ..., y(n - 1) (x) ).
График решения y = y(x) называется интегральной кривой уравнения.
Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n –го порядка таких условий должно быть n.
Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n–го порядка
y(n) = f (x, y, y ', ..., y(n - 1) )
называется задача отыскания решения y = y(x), удовлетворяющего начальным условиям
y(x0) = y0, y '(x0) = y10, ..., y(n - 1) (x0) = y(n - 1)0 .
Здесь (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) фиксированная точка области D.
Любое фиксированное решение y = φ(x) — решение некоторой задачи Коши — называется частным решением уравнения .
Общим решением уравнения n –го порядка называется функция y = φ(x,C1,..., Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим требованиям:
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = φ(x,C1,..., Cn) является решением уравнения на [a;b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y10, ..., y(n - 1)0 ) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C1*,..., Cn* такие, что функция y = φ(x,C1*,..., Cn*) удовлетворяет начальным условиям
φ(x0,C1*,..., Cn*) = y0 , φ '(x0,C1*,..., Cn*) = y10, ..., φ(n - 1)(x0,C1*,... , Cn*) = y(n - 1)0 .
Равенство Φ(x,C1,..., Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения n –го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения .
Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.
К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида
Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка:
Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле
Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид
|
Билет 10. Линейное уравнение высших порядков. Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x). Коэффициенты уравнения an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] . y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка, y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка, Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка: L(y) ≡ y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y. L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи. При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и Ck [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.
Существование единственности. Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x), в которое неизвестная функция y = y(x) и все ее производные входят линейно. Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения. Если в уравнении y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) все коэффициенты ai(x) и правая часть f(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями y(a) = y0, y '(a) = y1,0 , ..., y(n − 1) (a) = yn,0 имеет единственное на всем отрезке [a;b] решение y = y(x) .
Следует понимать, что теорема имеет "глобальный" характер — решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.
|
Билет 11
Структура решения линейного неоднородного дифф. уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.
Билет 12
Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Обычно имеет те же свойства, что и соответствующее однородное уравнение — уравнение с отброшенным свободным членом.
Метод Лагранжа.
Задача состоит в вычислении какого–либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
с нерерывными на [a; b] коэффициентами и непрерывной правой частью.
Предположим, что известна фундаментальная система y1(x), y2(x),..., yn(x) решений соответствующего однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде
y*(x) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) ,
где C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [a; b] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.
Справедливо следующее утверждение.
Пусть y1(x), y2(x),..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) непрерывна на [a; b], то его частное решение можно искать в виде
y*(x) = y(x,C1,..., Cn) = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) + ... + Cn(x) yn(x) .
Неизвестные функции C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) находятся из системы
Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.
Пример:
Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью.
Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1(x) = ln x , y2(x) = x.
Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C1(x) lnx + C2(x) x:
Подставим выражения для производных в уравнение:
Для неизвестных функций C1(x), C2(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:
Откуда имеем:
Билеты 13
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффциентами.
Билет 14
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Билет 15
Решение линейного однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Уравнение
(9.1) называется
линейным дифференциальным уравнением n-го
порядка с постоянными ко-эффициентами; 
-
постоянные вещественные
числа. Если функция 
) не
равна тождественно нулю, то иногда
говорят, что уравнение
с правой частью.
Уравнение
(9.2) называется
линейным однородным дифференциальным
уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами;
-
постоянные вещественные числа. Т.
к. функция
) равна
тождественно нулю, то иногда говорят,
что уравнение
без правой час-ти.
Уравнение 
(9.3)
называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристичес-кими числами уравнения (9.2).
Система
функций 
называется линейно
независи-мой в
интервале 
,
если тождество (
- постоянные
числа)
может
выполняться только когда все 
. Если
к тому же каждая из функций 
является
частным решением однородного
уравнения (9.2), то система решений
одно-родного уравнения
называется фундаментальной
системой решений.
Если фундаментальная система решений найдена, то функция
дает
общее решение однородного
уравнения (9.2), ( все 
-
константы ).
1°. Однородное уравнение. Рассмотрим три случая.
(♠) Все корни характеристического уравнения различны и вещественны.
Фундаментальная система решений имеет вид :
.
Функция 
дает
общее решение одно-родного уравнения (9.2) ( все
-
константы ).
П.
9.1 
.
Записываем характеристическое уравнение 
. Его корни 
,
; фундаментальная система решений 
;
-
общее решение.
П.
9.2 
. Начальные
данные: при 
.
Корни
характеристического уравнения 
. Общее
ре-шение 
. Т.
к. 
, то для определения костант
имеем
два уравнения: 
.
Значит, 
-
частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным данным.
(♠♠) Все корни характеристического уравнения различны, но среди них есть
комплексные.
Каждому
вещественному корню
по-прежнему соответствует частное
решения 
,
а каждой паре комплексных сопряженных
корней 
соответствуют
два линейно-независимых частных решения
:
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют ве-щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.
Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной системы решений с произвольными постоянными коэффициентами .
П.
9.3 
Находим
корни характеристического уравнения 
или
. Один
корень вещественный и пара
комплексно-сопряженных корней (a=0, b=3,
т. е. корни чисто мнимые
). Фундаменталь-ная система решений
: 
. Записываем общее решение
.
П.
9.4 
Характеристическое уравнение: 
, 
, ( a=3, b=2
). Фундаментальная система решений
:
.
Общее решение 
.
П.
9.5 
. Начальные
данные: при 
.
Корни характеристического уравнения 
.
Фундаментальная система решений
: 
.
Общее решение 
.
Для определения констант находим 
.
.
При 
. Т.о.
, частное решение, удов-летворяющее
заданным начальным условиям, имеет
следующий вид:
.
(♠♠♠) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
В этом случае каждому вещественному корню кратности k соответствует k линейно-независимых частных решений вида
,
причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
,
а каждой паре комплексных сопряженных корней кратности k соответствуют 2k линейно-независимых частных решения вида
В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации
.
Т.о., фундаментальную систему решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных комплексно-сопряженных корней.
Общее
решение дает линейная комбинация
фундаментальной системы решений
с произвольными постоянными
коэффициентами 
.
П.
9.6 
Корни характеристического уравнения 
кратны, 
. Кратность вещественного корня 
. Фундаментальная система
решений
: 
. Общее решение 
.
2°. Неоднородное уравнение. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
можно
найти по формуле 
(формула
верна и в том случае, когда коэффици-енты
не являются константами) , где 
-
частное решение неоднородного уравнения,
а
-
общее решение однородного уравнения .
Т.о., чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , надо
найти общее решение однородного уравнения 
и частное решение
неоднородного 
.
Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид.
Суть метода заключается в том, что частное решение ищут в заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные значения которых находят подстановкой в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.
(♠) 
, где 
-
полином от 
степени 
(который,
в частности, может быть константой, не
равной нулю).
Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
,
где 
-
полином той же степени
с неопределенными коэффициентами.
Если
же число 0 является корнем
характеристического уравнения
кратности 
,
то
следует
искать в виде
.
П.
9.10 
Корни характеристического уравнения 
. Общее
решение однородного уравнения 
. Число
0 не является корнем характеристи-ческого
уравнения
частное
решение ищем в виде 
. Теперь
сог-ласнорецепту следует
подставить
в исходное уравнение, однако обычно
при-держиваются нижеследующей
схеме.
-
-1
0
1
Во
втором столбце стоят
и производные,
в первом - коэффициенты, с
которыми 
входят
в уравнение; в третьем столбце
приравнены коэффициенты при одинаковых
функциях в левой и правой частях
уравнения; в четвертом столбце приведены
значения найденных неопределенных
коэффициентов. Т.о., частное решение
.
Общее
решение 
.
П.
9.11 
Корни характеристического уравнения 
. Общее
решение однородного уравнения 
. Число
0 является корнем характеристи-ческого
уравнения кратности 
частное
решение ищем в виде 
. Далее,
согласно схеме.
-
0
-4
1
Т.о., 
. Общее
решение 
.
П.
9.12 
Корни характеристического уравнения 
. Число
0 является корнем характеристического
уравнения кратности 
. Общее
решение одно-родного уравнения 
. Частное
решение ищем в виде 
. Далее,
согласно схеме.
-
0
-1
1
Т.о., 
. Общее
решение 
.
(♠♠) 
, где
-
полином от
степени
(который,
в частности, может быть константой, не
равной нулю); 
-
вещественное число.
Если число 
не является кратным корнем, то
следует искать
в виде
,
где - полином той же степени с неопределенными коэффициентами.
Если же число является корнем характеристического уравнения кратности , то следует искать в виде
.
П.
9.13 
.
Начальные данные: при .
Число 
не
является корнем характеристического
уравнения 
,
.
Общее решение однородного уравнения 
. Частное
решение ищем в виде 
.
0 |
|
|
-2 |
|
|
1 |
|
|
Решая
уравнения, находим 
.
Т.о., 
.
Общее
решение 
.
Решаем задачу Коши.
. Имеем 
.
Решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям, имеет следующий
вид: 
.
П.
9.14 
Число
является
простым корнем характеристического
уравнения 
, 
.
Общее решение однородного уравнения 
. Частное
решение ищем в виде 
.
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
;
общее решение 
.
П.
9.15 
Число
является
двукратным корнем характеристического
уравнения 
, 
.
Общее решение однородного уравнения 
. Частное
решение ищем в виде 
.
1 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., 
. Общее
решение 
.
(♠♠♠) 
, где 
-
полиномы от
(которые,
в частности, могут быть константами и
один из них может быть равным нулю); 
-
вещественные числа.
Пусть - наибольшая из степеней полиномов .
Если число не является корнем характеристического уравнения, то следует искать в виде
,
где 
-
полиномы степени
с неопределенными
коэффициентами.
Если число является корнем кратности , то следует искать в виде
.
П.
9.16 
Корни характеристического уравнения
. Общее
решение однородного
уравнения 
. Т.к.., 
; число 
не
является корнем характеристического
уравнения , то частное решение
ищем в виде 
.
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Значит, 
; oбщее решение 
.
П.
9.17 
Корни характеристического уравнения
. Общее
решение однородного уравнения
. Т.к.., 
и
число
не
является корнем характеристического
уравнения , то частное решение
ищем в виде 
.
-1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Решая
уравнения, находим 
; 
.
Oбщее решение 
.
П.
9.18 
Корни
характеристического уравнения 
. Общее
решение од-нородного уравнения 
. Т.к.., 
; и
число 
не
является корнем характеристического
уравнения , то частное
решение ищем в виде 
.
В
данном случае пользоваться обычной
схемой неудобно. Вначале находим
производные 
.
Теперь следуем привычной схеме.
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., 
.
Общее
решение 
.
П.
9.19 
Корни
характеристического уравнения 
. Общее
решение однородного уравнения 
.
Т.к.., 
и
число 
является
корнем харак-теристического уравнения
, то частное решение ищем в виде
:
Находим производные .
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., 
; общее
решение 
.
П.
9.20 
.
Найти вид частного решения.
Корни характеристического уравнения
.
Т.к.., 
и
число
является двукратным
корнем характеристического уравнения , то частное решение имеет вид :
(♠♠♠♠) 
,
где 
-
функции стандартного вида.
В
этом случае 
,
где 
- частное
решение, отвечающее функции
.
П.
9.21 
Корни характеристического уравнения . Общее решение однородного уравнения .
Т.к.. для
функции 
и число
является корнем характеристического уравнения
, то частное решение 
; функции 
отвечает 
.
Итак, 
.
Далее, поступаем по рецепту:
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, 
. Общее
решение 
.
Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.
П.
9.22 
Правя
часть не имеет стандартного вида. Однако,
т.к. 
, то
. Теперь
правая часть имеет стандартный вид.
Корни
характеристического уравнения
. Общее
решение однородного уравнения 
.
Т.к.. для
функции 
и число
является корнем характеристического уравнения
, то частное решение 
; функции 
отвечает 
.
Итак, 
.
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.о., 
. Общее
решение 
.
П.
9.23 
. Найти вид
частного решения.
Корни характеристического уравнения .
Т.к. 
, то 
.
3°. Метод вариации произвольных постоянных. Метод пригоден для линей-ных уравнений (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фун-даментальная система соответствующего однородного уравнения. Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).
Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде
,
где 
-
непрерывно дифференцируемые функции
от x;
-
фундаментальная система решений
соответствующего однород-
ного уравнения; - порядок уравнения.
Функции определяются из системы:
где 
-
правая часть заданного уравнения.
П.
9.24 
.
Корни характеристического уравнения 
. Фундаментальная
система решений: 
. Общее решение ищем в
виде:
. Записываем
систему:
, 
.
Интегрируя,
находим 
:
,
где 
-
постоянные интегрирования. Общее
решение:
.
П.
9.25 
Корни характеристического уравнения
. Фундаментальная
система решений: 
. Общее решение ищем в
виде:
. Записываем
систему:
, 
=
.
.
Общее решение 
.
П.
9.26 
. Фундаментальная
система решений задана :
. Общее решение ищем в
виде:
. Записываем
систему:
, 
.
,
. 
.
Общее решение 
.
Билет 16
Числовые ряды. Сумма ряда.
,an>
0 .
Признак
Даламбера: 
, 
,
если d <1 —
ряд сходится, если d >1 —
ряд расходится,
если d =1 —
о сходимости или расходимости ряда
судить нельзя.
Признак
Коши: 
, 
,
если c <1 —
ряд сходится, если c >1 —
ряд расходится,
если c =1 —
о сходимости или расходимости ряда
судить нельзя.
Знакочередующийся
ряд: 
, 
.
Если
сходится ряд
,
то ряд
—
сходится а
б с о л ю т н о.
Если
ряд
расходится,
а ряд
сходится,
то знакочередующийся ряд
—
сходится у
с л о в н о.
Признак
Лейбница:
если an, монотонно
убывая, стремится к нулю, то ряд
сходится
и
.
Сумма
числового ряда 
определяется
как предел, к которому стремятся суммы
первых n слагаемых ряда,
когда n неограниченно
растёт. Если такой предел существует и
конечен, то говорят, что ряд сходится,
в противном случае — что он расходится[1].
Элементы ряда an представляют
собой либо вещественные,
либо комплексные
числа.