Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
математика 20121.docx
Скачиваний:
8
Добавлен:
21.04.2019
Размер:
674.52 Кб
Скачать

Метод решения Первый способ

Разделим все члены уравнения на

получим

Делая замену

и дифференцируя, получаем:

Это уравнение приводится к линейному:

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

тогда:

Подберем   так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения   получаем уравнение   — уравнение с разделяющимися переменными.

Билет 7.

§ 7. Уравнение в полных дифференциалах

         1°.   Уравнение

                                                                                   (7.1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции  U (x, y) и следовательно его можно записать в виде:                                                                  

                                            dU=0    U=const=c  

Например, уравнение  xdy+ydx=0, есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно записать в виде d(xy)=0   и, значит,  xy=c.

Если функции и N в области задания непрерывны и имеют частные производные соответственно по y и по  xто для того чтобы уравнение  (7.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

 

                                                                                                               (7.2)

Если условие  (7.2) выполнено, то решение можно записать в виде

                                                                                     (7.3)

 либо                                      

                                                    ,                                (7.4)

где    – произвольная точка в области задания функций  и N

         Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям  , в случае когда функции и  не обращаются одновременно в 0 в точке   , можно найти обычным путем, определив константу c из общего решения, а можно в формулах  (7.3)  и (7.4) положить  :

                                                                                  (7.5)

либо

                                                                                   (7.6)

Билет 8.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Если дифференциальное уравнение

F(xyy ',..., y(n) )  =  0

содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка n выше первого, то его называют уравнением n-го порядка и относят к уравнениям высших порядков.

Такое уравнение в нормальной форме имеет вид  

y(n) = f (xyy ', ..., y(n - 1) ).

Пусть D область определения функции f (xyy ', ..., y(n - 1) ),   D из Rn + 1 . Функция   y  =  y(x) называется решением уравнения n–го порядка на отрезке [a; b] , если:

− при всех x ∈ [a; b] точка (xy(x), y '(x) ,..., y(n −1) ) принадлежит области D;

− y  =  y(x) дифференцируема n раз на [ab] и при всех x ∈ [a; b] выполняется тождество y(n)(x) ≡ f (xy(x), y '(x), ..., y(n - 1) (x) ).

График решения y  =  y(x) называется интегральной кривой уравнения.

Для того, чтобы найти вполне определенную интегральную кривую, нужно задать дополнительные условия. Для уравнения n –го порядка таких условий должно быть n.

Начальной задачей или задачей Коши для уравнения n–го порядка

y(n) = f (xyy ', ..., y(n - 1) )

называется задача отыскания решения y  =  y(x), удовлетворяющего начальным условиям

y(x0) = y0,   y '(x0) = y10,  ...,   y(n - 1) (x0) = y(n - 1)0 .

Здесь (x0y0,   y10,  ...,  y(n - 1)0 ) фиксированная точка области D.

Любое фиксированное решение y = φ(x) — решение некоторой задачи Коши — называется частным решением уравнения .

Общим решением уравнения n –го порядка называется функция y = φ(x,C1,..., Cn) , зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим требованиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = φ(x,C1,..., Cn) является решением уравнения на [a;b] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0y0,   y10,  ...,  y(n - 1)0 ) ∈ D , существуют такие значения постоянных значения C1*,..., Cn* такие, что функция y = φ(x,C1*,..., Cn*) удовлетворяет начальным условиям

 φ(x0,C1*,..., Cn*) = y0 , φ '(x0,C1*,..., Cn*) = y10,  ...,  φ(n - 1)(x0,C1*,... , Cn*) = y(n - 1)0 .

Равенство Φ(x,C1,..., Cn) = 0 называется общим интегралом уравнения n –го порядка в области D , если оно неявно определяет общее решение уравнения .

 

Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(xyy ',..., y(n) )  =  0 может быть понижен, то говорят, что уравнение допускает понижение порядка.

 

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся в частности, уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до некоторого порядка, , т.е. уравнения вида

Заменой z(x) = y(k)(x) такое уравнение сводится к уравнению (n−k)–го порядка:

Если z = z(x,C1,...,Cn-k) решение этого уравнения, то общее решение уравнения n–го порядка может быть вычислено по формуле

Простейшее уравнение, допускающее понижение порядка — уравнение вида y(n) = f (x), его общее решение имеет вид

 

Билет 10.

Линейное уравнение высших порядков.

Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).

Коэффициенты уравнения an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:

L(y) ≡ y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y.

L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи.

При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и Ck [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.

Существование единственности.

Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение

y(n) + an-1(x)y(- 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x),

в которое неизвестная функция y = y(x) и все ее производные входят линейно.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения.

Если в уравнении y(n) + an-1(x)y(- 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) все коэффициенты ai(x) и правая часть f(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями

y(a) = y0,   y '(a) =  y1,0 ,  ...,  y(n − 1) (a) = yn,0

имеет единственное на всем отрезке [a;b] решение y = y(x) .

 

Следует понимать, что теорема имеет "глобальный" характер — решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.

Билет 11

Структура решения линейного неоднородного дифф. уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(xC1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(xC1,..., Cn ) является решением уравнения на [ab] ;

− какова бы ни была начальная точка (x0y0y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(xC10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Билет 12

Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Обычно имеет те же свойства, что и соответствующее однородное уравнение — уравнение с отброшенным свободным членом.

Метод Лагранжа.

Задача состоит в вычислении какого–либо частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами и непрерывной правой частью.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).

с нерерывными на [ab] коэффициентами и непрерывной правой частью.

Предположим, что известна фундаментальная система y1(x), y2(x),..., yn(x) решений соответствующего однородного уравнения   y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y*(x) = C1(xy1(x) + C2(xy2(x) + ... + Cn(xyn(x) ,

где C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) — неизвестные, n раз дифференцируемые на [ab] функции. Их называют варьируемые постоянные общего решения однородного уравнения.

Справедливо следующее утверждение.

Пусть y1(x), y2(x),..., yn(x) — фундаментальная система решений однородного уравнения   y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 с непрерывными на отрезке [ab] коэффициентами. Если правая часть f(x) неоднородного уравнения   y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) непрерывна на [ab], то его частное решение можно искать в виде

y*(x) = y(x,C1,..., Cn) = C1(xy1(x) + C2(xy2(x) + ... + Cn(xyn(x) .

Неизвестные функции C1(x), C2(x) , ... , Cn(x) находятся из системы

Такой метод отыскания частного решения неоднородного уравнения называется методом вариации произвольных постоянных или методом Лагранжа.

Пример:

Найдём методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных) частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью.

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y1(x) = ln x , y2(x) = x.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде y*(x) = C1(x) lnx + C2(xx:

Подставим выражения для производных в уравнение:

Для неизвестных функций C1(x), C2(x) получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка:

Откуда имеем:

Билеты 13

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффциентами.

Билет 14

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Билет 15

Решение линейного однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

  Уравнение

                                     (9.1)   называется линейным дифференциальным уравнением  n-го порядка с постоянными ко-эффициентами;    - постоянные вещественные числа.  Если  функция  )  не равна тождественно нулю, то иногда говорят, что  уравнение с правой частью

            Уравнение

                                            (9.2) называется линейным  однородным  дифференциальным уравнением  n-го порядка с постоянными коэффициентами;    - постоянные вещественные числа.  Т. к.  функция  ) равна тождественно нулю, то иногда говорят, что уравнение без правой час-ти

            Уравнение                            (9.3) 

называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристичес-кими числами  уравнения  (9.2). 

          Система функций      называется линейно независи-мой в интервале   , если тождество   (  -  постоянные числа)

 

может выполняться только когда все  . Если к  тому же каждая из функций     является частным решением однородного уравнения  (9.2), то система решений одно-родного уравнения называется  фундаментальной системой решений.

          Если фундаментальная система решений найдена, то функция

 

дает общее решение однородного уравнения  (9.2),  ( все   - константы ).   

 

            1°.   Однородное уравнение.  Рассмотрим три случая.

(♠)  Все корни  характеристического уравнения различны и вещественны.    

       Фундаментальная система решений имеет вид :

                    

Функция      дает общее решение одно-родного  уравнения   (9.2)  ( все   - константы ). 

          П. 9.1              

Записываем  характеристическое  уравнение    .  Его  корни   ,

;   фундаментальная  система  решений    

                                     - общее решение. 

          П. 9.2            .   Начальные данные:  при  

Корни характеристического  уравнения        .  Общее ре-шение     .  Т. к.   ,  то  для  определения  костант 

  имеем два уравнения:       . Значит,     - частное решение, удовлетворяющее заданным начальным данным. 

(♠♠)  Все корни  характеристического уравнения различны, но среди них есть       

            комплексные.

Каждому вещественному  корню  по-прежнему  соответствует  частное решения  , а каждой паре комплексных сопряженных корней      соответствуют два линейно-независимых частных решения : 

                                                   .

            Т.о.,  фундаментальную  систему  решений в данном случае образу-ют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют ве-щественным корням, и линейно-независимые частные решения, кото-рые соответствуют каждой паре комплексно-сопряженных корней.

          Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной  системы решений с произвольными постоянными коэффициентами  .

          П. 9.3                 

Находим корни характеристического  уравнения      или  

  Один корень вещественный и пара комплексно-сопряженных корней  (a=0,  b=3, т. е. корни чисто мнимые ). Фундаменталь-ная  система  решений :   .  Записываем  общее  решение      

                                 .        

          П. 9.4                   

Характеристическое  уравнение:        

,  ( a=3,  b=2 ).  Фундаментальная  система  решений : 

                                     

Общее  решение   

 

          П. 9.5            .  Начальные данные:   при  .  

Корни   характеристического   уравнения        

Фундаментальная  система  решений :    .

Общее  решение    . Для определения констант находим   .

.

При   .  Т.о. , частное решение, удов-летворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид: 

                                                .

(♠♠♠)  Среди корней  характеристического уравнения имеются кратные корни.

             В этом случае каждому вещественному корню   кратности  k  соответствует  k линейно-независимых частных решений вида 

                                 ,

причем в формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

                              ,

а каждой паре комплексных сопряженных корней    кратности  k  соответствуют  2k  линейно-независимых частных решения вида                                                                          

    

В формулу общего решения будет привнесен вклад в виде линейной комбинации

      

     .

            Т.о.,  фундаментальную  систему  решений в данном случае образуют линейно-независимые частные решения, которые соответствуют вещественным простым и кратным корням, и линейно-независимые частные решения, которые соответствуют каждой паре простых и кратных  комплексно-сопряженных  корней.

          Общее решение дает линейная комбинация фундаментальной  системы решений с произвольными постоянными коэффициентами  .

 

          П. 9.6              

Корни   характеристического   уравнения     кратны,    .  Кратность  вещественного  корня   .  Фундаментальная  система

решений :    .  Общее  решение    .

 

2°.  Неоднородное уравнение.  Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

                           

можно найти по формуле     (формула верна и в том случае, когда  коэффици-енты не являются константами) ,  где    - частное решение неоднородного  уравнения, а 

    - общее решение однородного уравнения .

            Т.о., чтобы найти общее решение  неоднородного уравнения , надо

найти  общее  решение  однородного  уравнения     и  частное  решение

неоднородного  .

            Стало быть, возникает задача нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассмотрим четыре случая решения задачи методом неопределенных коэффициентов, когда правая часть имеет специальный (стандартный ) вид.

          Суть метода заключается в том, что частное решение    ищут в  заранее известном виде с неопределенными коэффициентами, конкрет-ные значения которых находят подстановкой    в исходное уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых функциях в левой и правой частях.

 

(♠)   ,  где   - полином от  степени   (который, в частности, может быть константой, не равной нулю).

            Если число 0 не является корнем характеристического уравнения, то   следует искать в виде

                                                                   ,

где    - полином  той  же  степени    с  неопределенными  коэффициентами.

            Если же число 0  является корнем характеристического уравнения кратности  , то   следует искать в виде

                                                            .

          П. 9.10                  

Корни   характеристического   уравнения    Общее решение однородного уравнения    .  Число 0 не является корнем характеристи-ческого уравнения    частное решение ищем в виде   .  Теперь сог-ласнорецепту следует    подставить в исходное уравнение, однако обычно при-держиваются нижеследующей схеме.             

   -1

0

1

 

 

Во втором столбце стоят     и производные, в первом -   коэффициенты, с которыми    входят в уравнение;  в третьем столбце приравнены коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях уравнения; в четвертом столбце приведены значения найденных неопределенных коэффициентов. Т.о., частное решение

                                                                                                         .

            Общее решение    .

 

          П. 9.11                  

Корни   характеристического   уравнения    Общее решение однородного уравнения    .  Число 0  является корнем характеристи-ческого уравнения кратности       частное решение ищем в виде   . Далее, согласно схеме.

0

 

-4

1

 

 

 

 

 

 Т.о.,    .   Общее решение    .  

 

          П. 9.12                 

Корни   характеристического   уравнения    Число 0  является корнем характеристического уравнения кратности  .  Общее решение одно-родного  уравнения   .    Частное решение ищем в виде   .  Далее, согласно схеме.  

0

 

-1

 

1

 

 

 

 

 Т.о.,    .   Общее решение    

(♠♠)   ,  где   - полином от  степени   (который, в частности, может быть константой, не равной нулю);    - вещественное число. 

            Если  число     не  является  кратным  корнем,  то     следует   искать

 в виде

                                                                   ,

где    - полином  той  же  степени    с  неопределенными  коэффициентами.

            Если же число    является корнем характеристического уравнения кратности  , то   следует искать в виде

                                                            .

 

          П. 9.13                      .

Начальные данные: при   .

Число    не является корнем характеристического уравнения   ,

. Общее решение однородного  уравнения   .    Частное решение ищем в виде  

0

-2

 

1

 

Решая уравнения, находим   . Т.о.,   .

Общее решение   . Решаем задачу Коши.    

.   Имеем         

          . Решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет следующий вид:   .

    

          П. 9.14                         

Число     является простым корнем характеристического уравнения   . Общее решение однородного  уравнения   .    Частное решение ищем в виде  

-1

0

 

1

 

 

 

; общее решение   

          П. 9.15                   

Число     является двукратным корнем характеристического уравнения   . Общее решение однородного  уравнения   .    Частное решение ищем в виде  

 

1

-2

 

 

1

 

 

 

 

Т.о.,    .   Общее решение     

(♠♠♠)    ,  где   - полиномы от    (которые, в частности, могут быть константами и один из них может быть равным нулю);    - вещественные числа.

            Пусть   - наибольшая из степеней полиномов   .

Если число   не является корнем характеристического уравнения, то   следует  искать в виде

                                            ,

        где    - полиномы  степени    с  неопределенными коэффициентами

Если число      является  корнем  кратности   , то     следует  искать в виде

                                            .

 

          П. 9.16                     

Корни   характеристического   уравнения    Общее решение однородного уравнения    .  Т.к..,  ;  число     не является корнем характеристического уравнения , то  частное решение ищем в виде  

-1

0

1

 

 

 

Значит,  ;  oбщее  решение     .

 

          П. 9.17                     

Корни   характеристического   уравнения    Общее решение однородного уравнения    .  Т.к..,     и число     не является корнем характеристического уравнения , то  частное решение ищем в виде  

-1

0

1

 

 

           

Решая уравнения,  находим    ;  

Oбщее  решение   

          П. 9.18                   

Корни характеристического уравнения  Общее решение од-нородного уравнения    .  Т.к..,  ;  и число     не является корнем характеристического уравнения ,  то  частное решение ищем в виде    .

            В данном случае пользоваться обычной схемой неудобно. Вначале находим производные   .

Теперь следуем привычной схеме. 

1

1

 

 

            Т.о.,   .

Общее решение     

  П. 9.19                     

Корни характеристического уравнения  Общее решение однородного уравнения    .

            Т.к..,    и число     является корнем харак-теристического  уравнения ,  то частное решение ищем  в  виде : 

 

                                    

Находим производные   .

 

4

1

 

 

 

Т.о.,    ;   общее решение     

 

П. 9.20         

Найти  вид  частного  решения.

            Корни характеристического уравнения 

     .

Т.к..,    и число     является  двукратным 

корнем  характеристического  уравнения ,  то частное решение имеет    вид :

                                    

 

(♠♠♠♠)         ,

                                     где     - функции стандартного вида. 

В этом случае     ,

                                      где     -  частное решение, отвечающее функции    . 

П. 9.21                        

Корни характеристического уравнения  Общее решение однородного уравнения    .

            Т.к..  для функции        и  число     является  корнем  характеристического  уравнения ,  то частное  решение   ;   функции       отвечает    .

            Итак,    .

Далее, поступаем по рецепту:

1

 

 

            

0

    

 

1

       

 

   

    

 

Итак,  .  Общее решение  .

            Иногда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, но  с помощью преобразований может быть приведена к стандартному виду.

 

          П. 9.22                        

Правя часть не имеет стандартного вида. Однако, т.к.   ,  то 

.  Теперь правая часть имеет стандартный вид. 

            Корни характеристического уравнения  Общее решение однородного уравнения    .

            Т.к..  для функции        и  число     является  корнем  характеристического  уравнения ,  то частное  решение   ;   функции       отвечает    .

            Итак,   

4

 

 

            

0

    

 

1

       

 

   

    

 

Т.о.,  .  Общее решение 

 

          П. 9.23             .  Найти  вид частного решения.

Корни  характеристического  уравнения    .

            Т.к.   ,  то       .

 

3°.    Метод вариации произвольных постоянных.  Метод пригоден для линей-ных уравнений  (с постоянными и произвольными коэффициентами), если известна фун-даментальная  система  соответствующего однородного уравнения.  Общее решение в этом случае можно найти для правой части произвольного вида (необязательно стандартного).

            Суть метода (метода Лагранжа) состоит в том, что общее решение ищется в виде

                                       ,

где     - непрерывно дифференцируемые функции от x;

        - фундаментальная система решений соответствующего однород-  

        ного  уравнения;    - порядок  уравнения. 

Функции     определяются из системы:

               

где    - правая часть заданного уравнения. 

 

          П. 9.24                     

Корни  характеристического  уравнения    Фундаментальная система решений:   .  Общее  решение  ищем  в виде: 

.  Записываем систему: 

                     ,    

Интегрируя, находим   

                                 

                               

где    - постоянные интегрирования.  Общее решение:

                          .

 

          П. 9.25                     

Корни  характеристического  уравнения    Фундаментальная система решений:   .  Общее  решение  ищем  в виде: 

.  Записываем систему:

          ,              

 

              =

                          

Общее  решение  

 

П. 9.26                       .   Фундаментальная система решений задана :   

                                        .  Общее  решение  ищем  в виде:        

    .    Записываем систему: 

                ,              

.   .

Общее  решение     

                                    .

Билет 16

Числовые ряды. Сумма ряда.

,an> 0 .  Признак Даламбера ,  если d <1 — ряд сходится, если d >1 — ряд расходится,  если d =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя.  Признак Коши ,  если c <1 — ряд сходится, если c >1 — ряд расходится,  если c =1 — о сходимости или расходимости ряда судить нельзя.  Знакочередующийся ряд .  Если сходится ряд  , то ряд  — сходится а б с о л ю т н о.  Если ряд  расходится, а ряд   сходится, то знакочередующийся ряд  — сходится  у с л о в н оПризнак Лейбница:  если an, монотонно убывая, стремится к нулю, то ряд   сходится и 

Сумма числового ряда   определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1]. Элементы ряда an представляют собой либо вещественные, либо комплексные числа.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]