§ 4. Евклидовы пространства

Пусть V=(V,+,) – линейное пространство над полем R. Будем говорить, что в линейном пространстве V задано скалярное умножение, если задано отображение VVR, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1 a,bV ((a,b)=(b,a))

2 a,b,cV ((a+c,b)=(a,b)+(c,b))

3 a,bV R ((a,b)= (a,b))

4 aV (a0(a,a)>0)

Следствие из аксиом. Если a=0 или b=0, тогда (a,b)=0.

Примеры

1. Рассмотрим линейное пространство векторов на плоскости, а скалярное произведение определим так:

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

2. Если рассмотреть множество функций, непрерывных на сегменте [a,b], ввести операции сложения и умножения на действительное число, получим линейное пространство. Скалярное произведение в этом пространстве можно ввести следующим образом:

(f(x),g(x))= .

Самостоятельно показать, что все аксиомы выполняются.

Определение. Линейное пространство, в котором введено скалярное умножение, называется Евклидовым пространством.

В любом n-мерном линейном пространстве можно ввести скалярное умножение векторов. Действительно, пусть V – n-мерное линейное пространство и e₁,e₂,…,e_n – базис этого пространства, тогда любой вектор линейного пространства V можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, то есть a,bV( а= , b= ). Введем операцию умножения векторов по правилу

(a,b)= R.

Проверим, будет ли данное умножение скалярным произведением, для этого проверим все аксиомы

1 a,bV ((a,b)= = =(b,a))

2 a,b,cV ((a+c,b)= = (a,b)+(c,b))

3 a,bV R ((a,b)= = (a,b))

4 aV (a0(a,a)= >0)

Все аксиомы выполнены, следовательно, мы получили евклидово пространство. Это говорит о том, что любое конечномерное линейное пространство можно преобразовать в евклидово. Далее будем рассматривать евклидовы пространства и обозначать их Е⁽ⁿ⁾.

Определение. Назовем длиной вектора а величину, равную арифметическому квадратному корню из скалярного квадрата

а= .

Определение. Назовем углом между векторами a0 и b0 угол

=arccos , 0.

Докажем корректность этого определения, то есть нужно показать, что

-1 1 1 1.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора a-b, где  R, имеем

(a-b, a-b)=(a, a-b)+(-b, a-b)=(a,a) +(a,-b)+(-b, a)+( -b,-b)=

=(a,a)-(a,b)- -( b,a)+ ²(b,b)= ²(b,b)-2(a,b)+(a,a)0 R.

Если рассмотреть последнее соотношение как квадратное неравенство относительно переменной , тогда имеем (b,b)>0, и неравенство верно R, следовательно,

D=(a,b)²-(a,a)(b,b) 0 (a,b)²(a,a)(b,b)  1, что и требовалось доказать.

Из неравенства (a,b)²-(a,a)(b,b) 0 можно получить интересное следствие.

Пусть дано пространство, и скалярное произведение в нем определено следующим образом (a,b)= , тогда получим

( )²- 0(₁₁+₂₂+…+_n_n)²(₁²+…+ _n²)(₁²+…+ _n²).

Это неравенство Коши – Буняковского.

Определение. Два вектора a0 и b0 называются ортогональными, если угол между ними равен 90 или (a,b)=0.

Определение. Система векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

называется ортогональной, если любая пара векторов этой системы ортогональна, то есть

ij ((a_i,a_j)=0).

Теорема. Ортогональная система векторов линейно независима.

Доказательство

Пусть система векторов (1) – ортогональная. Рассмотрим их линейную комбинацию

₁a₁+₂a₂+…+_sa_s=0 (2)

и покажем, что равенство 0 обязательно влечет за собой равенство нулю всех коэффициентов. Умножим обе части равенства (2) скалярно на a₁, получим

(₁a₁+₂a₂+…+_sa_s ,a₁)=(0,a₁)  (₁a₁,a₁)+(₂a₂,a₁)+…+( _sa_s ,a₁)=0 

₁(a₁,a₁)+ ₂(a₂,a₁)+…+  _s(a_s ,a₁)=0,

но (a_i,a_j)=0, если ij, то есть (a₂,a₁)=…=(a_s ,a₁)=0. Следовательно, получаем

₁(a₁,a₁)=0 и (a₁,a₁)>0, отсюда ₁=0. Аналогично, умножая равенство (2) скалярно на a₂,…,a_s, получим ₂=…=_s=0, что и требовалось доказать, следовательно, система векторов (1) линейно независима.

Из доказанной теоремы следует, что всякая ортогональная система векторов евклидова пространства линейно независима. Возникает вопрос о переходе от линейно независимой системы векторов к ортогональной, содержащей такое же количество векторов. Такой процесс называется процессом ортогонализации. Дадим индуктивное определение процесса ортогонализации:

1. Пусть система векторов a₁, a₂ (s=2) линейно независима (очевидно, a₁0,a₂0). Рассмотрим новую систему векторов b₁=a₁, b₂=a₁+a₂, где   неизвестный числовой параметр, который найдем из условия (b₁,b₂)=0:

(b₁,b₂)=(a₁,a₁+a₂)=(a₁,a₁)+( a₁,a₂)=0  = .

Таким образом, мы построили ортогональную систему из двух векторов.

2. Пусть имеем линейно независимую систему векторов

a₁,a₂,…,a_s (1)

Предположим, что для любого k (2ks) ортогональная система векторов построена

b₁,b₂,…,b_k.

Добавим еще один вектор b_k+1=₁b₁+₂b₂+…+_kb_k+ a_k+1.

Самостоятельно показать, что b_k+10.

Коэффициенты _i будем вычислять из условия, что

(b_k+1,b_i)=0(₁b₁+₂b₂+…+_kb_k+ a_k+1,b_i)=0

₁(b₁,b_i)+ …+_i(b_i,b_i)+…+ _k( b_k,b_i)+(a_k+1,b_i)=0_i(b_i,b_i)+(a_k+1,b_i)=0

_i= .

получим ортогональную систему векторов b₁,b₂,…,b_k b_k+1.

Следствие. Пусть a₁,a₂,…,a_nЕ⁽ⁿ⁾ и являются базисом Е⁽ⁿ⁾. Так как базис  это линейно независимая система, то его можно ортогонализировать. Очевидно, полученная ортогональная система векторов также будет базисом пространства Е⁽ⁿ⁾. То есть в любом евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Пусть а0Е⁽ⁿ⁾. Рассмотрим вектор е= . Очевидно, е=1. Операция перехода от вектора а к вектору е называется нормированием, а полученный вектор – нормированным или нормальным. Любой ненулевой вектор можно аналогичным образом пронормировать. Если пронормировать векторы ортогонального базиса, то получим ортонормированный базис евклидова пространства e₁,e₂,…,e_n ,где е_i=1i=1,…,n, (e_i,e_j)= .

Скалярное произведение любых векторов евклидова пространства тогда и только тогда равно сумме произведений одноименных координат, когда эти векторы заданы в ортонормированном базисе.