- •Глава I. Теория определителей §1. Перестановки
- •§2. Подстановки
- •§3. Группа подстановок
- •§4. Определители n-го порядка
- •Свойства определителей n-го порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •§5. Кольцо квадратных матриц
- •§6. Умножение прямоугольных матриц
- •Правило Крамера
- •Глава II. Системы линейных уравнений
- •§2. Ранг системы векторов. Ранг матрицы
- •Базис системы векторов
- •§3. Системы линейных уравнений
- •Метод Гаусса
Глава I. Теория определителей §1. Перестановки
Считаем известным определение бинарного отношения, отображения, кортежа длины n. Напомним, что отображение : АВ называется сюръективным, если
bB aA ((a)=b).
Отображение : АВ называется взаимно однозначным или инъективным, если
а1, а2А (а1 а2 (а)(а2)).
И наконец, отображение : АВ называется биекцией, если оно одновременно сюръективно и инъективно. Отображение множества М в себя называется преобразованием множества М.
Определение. Любой упорядоченный кортеж длины n называется перестановкой из n элементов.
Теорема. Число всех перестановок из n элементов равно n!.
Доказательство
При доказательстве будем использовать метод математической индукции по числу элементов.
1. При n=1 теорема верна, что очевидно.
2. Предположим, что теорема верна для n и подсчитаем число различных перестановок из n+1 элемента. Из n элементов, по индуктивному предположению, можно составить n! перестановок, добавить к каждой из них 1 элемент можно (n+1) способами, тогда всего различных перестановок будет n!(n+1)=12...n(n+1)=(n+1)!. Теорема доказана.
Перестановку можно также определить как строго линейно упорядоченное множество.
Примеры: Из элементов множества {1,2,3,4,5} можно составить 5!=120 различных перестановок. Например, J1=(1,2,3,4,5); J2=(1,2,4,3,5)...
В общем виде перестановки принято записывать
J=(I1, I2 , ..., Ik ).
Определение. Если в перестановке J символы Iк и Iв таковы, что Iк Iв, но Iк предшествует Iв, то говорят, что символы Iк и Iв образуют инверсию.
Пример: В перестановке J=(3,2,1,4,5) символы 3 и 2, 3 и 1, 2 и 1 образуют инверсию.
Определение. Если в перестановке J число инверсий четно, то такая перестановка называется четной, если число инверсий нечетно, то перестановка называется нечетной.
Определение. Если в перестановке J поменять местами два символа, то такое преобразование перестановки называется транспозицией.
Теорема. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим случай, когда транспонируемые символы стоят рядом. Пусть
J1=(I1, I2, ... , Ik-1, I, J, Ik+2, ... , In).
В результате транспозиции получим перестановку:
J2=(I1, I2, ... , Ik-1, J, I, Ik+2, ... , In).
Очевидно, для любого элемента Is верно следующее: если J и Is составляли инверсию в J1, они составляют инверсию и в J2, аналогично, если Is и I составляли инверсию в J1, то они составляют инверсию и в J2 , так как их взаимное расположение не изменилось. Таким образом, общее число инверсий, которые образуют символы I и J с остальными символами, одинаково для J1 и J2, а сами символы I и J, если они образовывали инверсию в J1, то не образуют инверсии в J2 и наоборот. То есть в любом случае число инверсий в перестановках J1 и J2 отличается на 1, следовательно, эти перестановки имеют разную четность.
Теперь пусть между транспонируемыми элементами I и J находится некоторое количество символов
J1=(I1, I2, ... , Ik-1, I, e1, e2, ... , em, J, ... , In),
J2=(I1, I2, ... , Ik-1, J, e1, e2, ... , em, I, ... , In).
чтобы поменять местами элементы I и J, сначала элемент I будем менять местами последовательно с элементами e1, e2, ... , em, J, для этого нам придется сделать m+1 транспозицию, а затем элемент J будем менять местами с элементами em, еm-1, ... , e2, e1, то есть совершим еще m транспозиций. Таким образом, чтобы поменять местами элементы I и J, нам пришлось сделать m+1+m=2m+1 транспозицию, а так как каждая следующая транспозиция меняет четность перестановки, то 2m+1 транспозиция изменит четность перестановки J1.
Теорема. Все n! перестановок из n элементов можно расположить так, что каждая следующая перестановка будет получаться из предыдущей путем одной транспозиции, начинать можно с любой перестановки.
Следствие. Для n2 число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно