Свойства определителей n-го порядка

Определение. Если в определителе n-го порядка строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками с теми же номерами, то такое преобразование определителя называется транспонированием, а определитель, полученный из данного в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к данному.

Так, если

,

тогда транспонированный определитель имеет вид

.

Определение. Элементы a₁₁, a₂₂, ..., a_nn называются диагональными, а соответствующее расположение этих элементов называется главной диагональю. (Элементы a_1n, a₂₂, ..., a_n1 образуют побочную диагональ.)

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.

Доказательство

Любой член определителя имеет вид t_k= , где вторые индексы составляют некоторую перестановку из элементов 1, 2, ..., n. Однако все множители, входящие в это произведение, и после транспонирования определителя останутся в разных строчках и разных столбцах, то есть t_k будет и членом транспонированного определителя _n. очевидно, верно и обратное, поэтому можно сделать вывод, что _n и _n состоят из одних и тех же слагаемых. Знак t_k в определителе _n определяется четностью подстановки , тогда знак этого элемента в определителе _n определяется четностью подстановки . Четность этих подстановок одинакова, следовательно, элемент t_k имеет один и тот же знак. Таким образом, _n и _n есть суммы одинаковых слагаемых, взятых с одинаковыми знаками. Следовательно, _n = _n.

Следствие. В определителе n-го порядка строки и столбцы равноправны. в дальнейшем будем формулировать и доказывать свойства только для строк, учитывая, что для столбцов будут выполняться те же свойства.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен 0.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Свойство 3. Если в определителе n-го порядка поменять местами две строки, то определитель изменит знак.

Доказательство

Рассмотрим определитель  n-го порядка

= ,

и, поменяв местами i и k строки, получим определитель ^*

= ,

Очевидно, что

 t_k=  t_k ^*= ( t_k= t_k^*)

Причем _k  число инверсий в подстановке , а _k^*  число инверсий в подстановке .

Очевидно, что эти две подстановки отличаются одной транспозицией, следовательно, имеют разную четность, таким образом, t_k = -t_k^*. Так как элемент t_k был взят произвольно, то приведенные рассуждения будут справедливы для любого элемента определителя, а следовательно

^.

Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен 0.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель изменится в k раз.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен 0.

(Доказательство в качестве упражнения.)

Свойство 7. Если элементы какой-либо строки определителя представить в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, а во втором  вторым.

Доказательство

+ .

Определение. Говорят, что i-ая строка определителя  есть линейная комбинация остальных строк, если существуют такие числа k₁, k₂, ..., k_n, что, умножая каждую строку на соответствующее k_i и складывая умноженные строки, мы получим i строку определителя , то есть

a_i1= k₁a₁₁+k₂a₂₁+... +k_na_n1

.......................................... .

a_in= k₁a_1n+k₂a_2n+... +k_na_nn