- •Глава I. Теория определителей §1. Перестановки
- •§2. Подстановки
- •§3. Группа подстановок
- •§4. Определители n-го порядка
- •Свойства определителей n-го порядка
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •§5. Кольцо квадратных матриц
- •§6. Умножение прямоугольных матриц
- •Правило Крамера
- •Глава II. Системы линейных уравнений
- •§2. Ранг системы векторов. Ранг матрицы
- •Базис системы векторов
- •§3. Системы линейных уравнений
- •Метод Гаусса
Миноры и алгебраические дополнения
Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении указанных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель такой квадратной матрицы называют минором k-го порядка.
Обозначается Mk . Если k=1, то минор первого порядка это элемент определителя.
Элементы, стоящие на пересечении оставшихся (n-k) строк и (n-k) столбцов, составляют квадратную матрицу порядка (n-k). Определитель такой матрицы называется минором, дополнительным к минору Mk. Обозначается Mn-k.
Алгебраическим дополнением минора Mk будем называть его дополнительный минор, взятый со знаком “+” или “” в зависимости от того, четна или нечетна сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор Mk.
Если k=1, то алгебраическое дополнение к элементу aik вычисляется по формуле
Aik=(-1)i+kMik, где Mik минор (n-1) порядка.
Теорема. Произведение минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение равно сумме некоторого числа членов определителя n.
Доказательство
1. Рассмотрим частный случай. Пусть минор Mk занимает левый верхний угол определителя, то есть располагается в строках с номерами 1, 2, ..., k, тогда минор Mn-k будет занимать строки k+1, k+2, ..., n.
.
Вычислим алгебраическое дополнение к минору Mk. По определению,
An-k=(-1)sMn-k, где s=(1+2+...+k) +(1+2+...+k)= 2(1+2+...+k), тогда
(-1)s=1 и An-k=Mn-k. Получим
Mk An-k=Mk Mn-k. (*)
Берем произвольный член минора Mk
, (1)
где число инверсий в подстановке
(2)
и произвольный член минора Mn-k
, (3)
где число инверсий в подстановке
(4)
Перемножая (1) и (3), получим
.(5)
Произведение состоит из n элементов, расположенных в различных строках и столбцах определителя . Следовательно, это произведение является членом определителя . Знак произведения (5) определяется суммой инверсий в подстановках (2) и (4), а знак аналогичного произведения в определителе определяется числом инверсий k в подстановке
Очевидно, что k=.
Таким образом, возвращаясь к равенству (*), получим, что произведение Mk An-k состоит только из членов определителя.
2. Пусть минор Mk расположен в строках с номерами i1, i2, ..., ik и в столбцах с номерами j1, j2, ..., jk , причем i1< i2< ...< ik и j1< j2< ...< jk .
Используя свойства определителей, с помощью транспозиций сместим минор в левый верхний угол. Получим определитель , в котором минор Mk занимает левый верхний угол, а дополнительный к нему минор Mn-k правый нижний угол, тогда, по доказанному в пункте 1, получим, что произведение Mk Mn-k является суммой некоторого количества элементов определителя , взятых со своим знаком. Но получен из с помощью (i1-1)+( i2-2)+ ...+(ik-k)=( i1+ i2+ ...+ ik)-(1+2+...+k) транспозиций строк и (j1-1)+(j2-2)+ ...+(jk-k)=(j1+ j2+ ...+ jk)- (1+2+...+k) транспозиций столбцов. То есть всего было выполнено
( i1+ i2+ ...+ ik)-( 1+2+...+k)+ (j1+ j2+ ...+ jk)- (1+2+...+k)= ( i1+ i2+ ...+ ik)+ (j1+ j2+ ...+ jk)- 2(1+2+...+k)=s-2(1+2+...+k). Поэтому члены определителей и отличаются знаком (-1)s-2(1+2+...+k)=(-1)s, следовательно, произведение (-1)s Mk Mn-k будет состоять из некоторого количества членов определителя , взятых с теми же знаками, какие они имеют в этом определителе.
Теорема Лапласа. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно k строк (или k столбцов) 1kn-1, тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю .
Доказательство
Выберем произвольно строки i1, i2, ..., ik и докажем, что
.
Ранее было доказано, что все элементы в левой части равенства содержатся в качестве слагаемых в определителе . Покажем, что каждый член определителя попадает только в одно из слагаемых . Действительно, всякое ts имеет вид ts= . если в этом произведении отметить сомножители, у которых первые индексы i1, i2, ..., ik, и составить их произведение , то можно заметить, что полученное произведение принадлежит минору k-го порядка. Следовательно, оставшиеся члены, взятые из оставшихся n-k строк и n-k столбцов, образуют элемент, принадлежащий дополнительному минору, а с учетом знака алгебраическому дополнению, следовательно, любое ts попадает только в одно из произведений , что доказывает теорему.
Следствие (теорема о разложении определителя по строке). Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю.
(Доказательство в качестве упражнения.)
Теорема. Сумма произведений элементов i-ой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения к элементам j-ой строки (ij) равна 0.
(Доказательство в качестве упражнения.)
Таким образом, мы получили формулы
Аналогично
Пример 1. Вычислить определитель по теореме Лапласа (предварительно разложив его по 2 и 3 строкам).
= =
=(4+3)(-9-0) - (8-3)(0-20) + (12-6)(0-15) + (-4-2)(-3-16) - (-6-4)(0-12) + (6-8)(5-0)= = -63+100-90+114-120-10=-69.
Пример 2. Вычислить определитель, разложив его по последнему столбцу.
7
-7(25 + 0 + 16 + 12 - 60 - 0) + 3(50 + 0 - 24 + 16 - 0 + 90) - (100 + 0 + 24 + 32 - 0 + 75) + 4(-40 + 20 - 54 - 48 - 30 - 30) = 49 + 396 - 231 - 182 = 32.
Замечание. Удобно применять следствие из теоремы Лапласа к определителю, преобразованному с помощью свойств таким образом, что в одной из строк (или в одном из столбцов) все элементы, кроме одного, равны 0.
Пример. Вычислить определитель
-12 -14 +35 -147 -20 -2= -160.