Глава III. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства Определение линейного пространства

Во второй главе рассматривалось n-мерное векторное пространство, как множество векторов  упорядоченных n-ок действительных чисел с операциями сложения и умножения на действительное число. Рассмотрим аксиоматическое определение линейного или векторного пространства.

Пусть дано произвольное множество V={a,b,c,..}, Р – числовое поле. Множество V называется линейным пространством, заданным над полем Р, если для его элементов выполняются следующие аксиомы:

1. a,bV cV(c=a+b)

2. a,bV(a+b=b+a)

3. a,b,cV(a+(b+c)=(a+b)+c)

4. 0VaV(a+0=a)

5. aV(-a)V(a+(-a)=0)

6. aVPbV(b=a)

7. aV,P((+)a=a+a)

8. a,bVP((a+b)=a+b)

9. aV,P(()a=(a))

10. aV(1a=a)

Элементы линейного пространства принято называть векторами.

Примеры: 1) n-мерное векторное пространство;

2) множество векторов  направленных отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;

3) множество действительных функций действительного переменного.

Везде далее будем в качестве поля Р рассматривать поле действительных чисел, но все полученные результаты легко обобщаются на случай произвольного поля.

Рассмотрим некоторые свойства линейных пространств и следствия из аксиом.

Следствие 1. Так как свойства I  V означают, что относительно операции сложения алгебра V образует абелевую группу, то выполняются все свойства абелевых групп, в частности справедливо свойство единственности нулевого и противоположного элементов и др.

Следствие 2. aVR (a=0=0a=0)

Доказательство. Необходимость. Пусть a=0, тогда a=(а+0)=а+0 0=а-a=0, аналогично, если =0, то a=(+0)а=а+0а  0а=а-a=0.

Достаточность. Пусть a=0. Если =0, то свойство выполняется. Если 0, тогда для него в поле действительных чисел существует обратное ^-1, получим а=1а=(^-1)а=^-1 (а)= ^-10=0.

Следствие 3. aVR ((-)a=(-а)=- а)

Доказательство

а+(-а)=(а+ (-а))= 0=0(-а)=-а

Остальные соотношения проверить самостоятельно.

Следствие 4. a, bVR((a-b)= a-b)

Доказательство

a=( b+(a- b))= b+(a- b) a=b+(a- b) (a-b)= a-b

Следствие 5. ,RaV((-)a=a-a).

Доказательство  самостоятельно.

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Из определения линейного пространства следует, что kN сумма

₁a₁+₂a₂+…+_ka_k

представляет собой однозначно определенный вектор линейного пространства V, который будем называть линейной комбинацией векторов a₁,a₂,…,a_k с коэффициентами ₁,₂,…,_kR.

Определение. Система векторов a₁,a₂,…,a_nV называется линейно зависимой, если

₁,₂,…,_nR(₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0₁²+₂²+…+_n²0).

Определение. Система векторов a₁,a₂,…,a_nV называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулю только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю.

Определение. Линейно независимая система векторов пространства V называется максимальной линейно независимой, если добавление к ней любого вектора этого пространства обращают эту систему в линейно зависимую.