§ 2. Изоморфизм линейных пространств

В определении линейного пространства говорится о свойствах действий над векторами и ничего не сказано о свойствах самих векторов. Поэтому может быть, что векторы двух пространств различны по природе, но, с точки зрения свойств операций, эти пространства неразличимы.

Определение. Два действительных линейных пространства V и V’ называются изоморфными, если существует биективное отображение

: VV’,

сохраняющее операции сложения и умножения вектора на число.

Будем использовать обозначение VV’.

Напомним, что под сохранением операций понимаем следующее:

пусть V=(V,+,), V’=(V’,,), тогда

a,bV((a+b)=(a)(b))

RaV((a)=(a)).

Пример. Пространство векторов  направленных отрезков на плоскости, выходящих из начала координат изоморфно двумерному векторному пространству, элементы которого – упорядоченные пары действительных чисел.

Рассмотрим все множество линейных пространств, заданных над полем действительных чисел. Если задать на этом множестве бинарное отношение «быть изоморфными», тогда, очевидно, выполняются следующие свойства.

Свойство 1. Отношение изоморфизма на множестве всех линейных пространств есть отношение эквивалентности.

Доказать самостоятельно.

Свойство 2. Если VV’, тогда образом нуля пространства V будет нуль пространства V’, образом противоположного вектора (-а) будет вектор, противоположный образу -(a).

Доказательство следует из того, что изоморфизм линейных пространств означает и изоморфизм их групп по сложению.

Свойство 3. Образом линейной комбинации векторов пространства V при изоморфизме будет линейная комбинация их образов.

Доказательство  самостоятельно.

Свойство 4. Образом линейно зависимой системы векторов пространства V при изоморфизме будет линейно зависимая система векторов пространства V’.

Доказательство. Пусть VV’ и система векторов a₁,a₂,…,a_nV линейно зависима, то есть ₁,₂,…,_nR(₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0₁²+₂²+…+_n²0), тогда по свойствам 1-3, имеем

(₁a₁+₂a₂+…+_na_n)=(₁a₁)+(₂a₂)+…+(_na_n)=

=₁(a₁)+₂(a₂)+…+_n(a_n)=0’ ₁²+₂²+…+_n²0,

то есть система векторов (a₁),(a₂),…,(a_n)  линейно зависима.

Свойство 5. Образом линейно независимой системы векторов пространства V при изоморфизме будет линейно независимая система векторов пространства V’.

Доказательство. Пусть VV’ и система векторов a₁,a₂,…,a_nV линейно независима. Предположим противное, пусть система векторов (a₁),(a₂),…,(a_n)  линейно зависима, то есть

₁,₂,…,_nR(₁(a₁)+₂(a₂)+…+_n(a_n)=0’ ₁²+₂²+…+_n²0).

Используя свойство симметричности отношения изоморфизма, имеем VV’ V’ V, то есть существует биекция ^-1: V’ V, сохраняющая операции, тогда

^-1((₁(a₁)+₂(a₂)+…+_n(a_n))= ^-1(0’) 

^-1 (₁(a₁))+ ^-1(₂(a₂))+…+ ^-1(_n(a_n))= ^-1((0)) 

₁^-1((a₁))+ ₂^-1((a₂))+…+ _n ^-1((a_n))= 0

₁a₁+₂a₂+…+_na_n=0₁²+₂²+…+_n²0,

то есть система векторов a₁,a₂,…,a_nV линейно зависима, что противоречит условию. Это доказывает наше утверждение.

Свойство 6. Образом максимальной линейно независимой системы векторов пространства V при изоморфизме будет максимально линейно независимая система векторов пространства V’.

Доказательство. Пусть VV’ и система векторов a₁,a₂,…,a_nV максимальная линейно независима. По свойству 5 система векторов (a₁),(a₂),…,(a_n) – линейно независима. Предположим, что она не является максимально линейно независимой, то есть найдется вектор b’ V’, такой, что система векторов (a₁),(a₂),…,(a_n), b’ – линейно независима. Тогда из свойств 1 и 5 следует, что система векторов a₁,a₂,…,a_n , ^-1 (b’) V линейно независима, что противоречит максимальности системы векторов a₁,a₂,…,a_n, что доказывает свойство.

Теорема. Если в линейном пространстве V есть хотя бы одна максимальная линейно независимая система, содержащая n векторов, то такое линейное пространство изоморфно R⁽ⁿ⁾.

Доказательство.

Пусть в линейном пространстве V есть максимальная линейно независимая система из n векторов

e₁,e₂,…,e_n. (1)

1. Так как система (1) максимальная линейно независимая, то

аV ₁,₂,…,_nR(а=₁e₁+₂e₂+…+_ne_n),

причем такое разложение единственное. Действительно, предположим противное, пусть ₁,₂,…, _n R(а=₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n ), тогда получим

₁e₁+₂e₂+…+_ne_n=₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n

(₁-₁ )e₁+(₂ -₂ )e₂+…+(_n -_n )e_n=0

(₁-₁ )=(₂ -₂ )=…=(_n -_n )=0₁=₁ ,₂ =₂ ,…,_n =_n,

что и требовалось доказать. Таким образом, мы доказали, что

 аV !₁,₂,…,_nR(а=₁e₁+₂e₂+…+_ne_n).

2. Построим отображение :V R⁽ⁿ⁾. по следующему закону

 аV ((а)=(₁,₂,…,_n)) R⁽ⁿ⁾.

Так как для любого вектора аV коэффициенты разложения по векторам (1) определяются однозначно, то   биекция. Проверим, сохраняются ли операции. Пусть a,bV, а=₁e₁+₂e₂+…+_ne_n, b=₁e₁+ ₂e₂ +…+ _ne_n ,

a+b=(₁+ ₁)e₁+(₂+ ₂ )e₂+…+(_n + _n)e_n, тогда

(а)=(₁,₂,…,_n), (b)=(₁,₂,…,_n), (a+b)=(₁+ ₁,₂+ ₂,…,_n+ _n),

(а)+(b)=(₁+ ₁,₂+ ₂,…,_n+ _n)=(a+b), то есть операция сложения сохраняется.

Аналогично самостоятельно показать, что сохраняется и операция умножения вектора на число.

Теорема доказана.

Следствие 1. Если линейное пространство содержит хотя бы одну максимальную линейно независимую систему, содержащую n векторов, то и любая максимально линейно независимая система векторов этого пространства содержит n векторов.

Доказательство

Действительно, так как V, по условию, содержит максимальную линейно независимую систему, содержащую n векторов, то, по доказанной теореме, оно изоморфно R⁽ⁿ⁾. Если предположить, что V содержит максимальную линейно независимую систему, содержащую больше (меньше), чем n векторов, тогда, по свойствам 1 и 3, образом этой системы при изоморфизме также будет максимально линейно независимая система векторов пространства R⁽ⁿ⁾, содержащая больше (меньше), чем n векторов. Но ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая система векторов пространства R⁽ⁿ⁾ содержит ровно n векторов, следовательно, наше предположение привело к противоречию и утверждение доказано.

Определение. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого пространства.

Линейное пространство V называется конечномерным, если в нем можно найти базис, содержащий конечное число векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Следствие 2. При изоморфизме линейных пространств образом базиса одного пространства является базис другого пространства.

Доказательство  самостоятельно

Таким образом, мы доказали, что все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Число векторов в базисе называется размерностью линейного пространства. Если размерность линейного пространства равна n, то любая система из (n+1) вектора будет линейно зависимой. Всякая линейно независимая система векторов линейного пространства содержится в некотором базисе этого пространства. Более того, справедливо следующее утверждение:

Всякая линейно независимая система векторов линейного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство в качестве упражнения.