Метод Гаусса

Рассмотрим систему s линейных уравнений с n неизвестными

(1)

1. Если среди уравнений системы есть уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k где b_k0, то система уравнений (1) несовместна.

2. Пусть в каждом уравнении системы есть хотя бы по одному отличному от 0 коэффициенту. Если a₁₁ =0, то перенумерацией неизвестных добьемся, чтобы первый коэффициент был отличен от нуля. Таким образом, можем считать , что a₁₁0.

Исключим теперь слагаемые, содержащие х₁, из всех остальных уравнений. Для этого к каждому i-ому (i=2,...,n) уравнению прибавим первое, умноженное на (i=2,...,n).

В результате таких преобразований получим систему

(2)

Системы уравнений (1) и (2) равносильны, так как вторая получена из первой с помощью элементарных преобразований.

продолжим аналогичные рассуждения для переменной х₂ (начиная со второго уравнения).

Если в системе уравнений в результате преобразований появились уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0, то их отбрасываем, а если появилось уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k где b_k0, то система уравнений (2), а следовательно и равносильная ей система уравнений (1), несовместна.

Если система (2) не содержит уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k где b_k0, то будем считать, что a₂₂0, и исключим х₂ из всех оставшихся уравнений, прибавляя к каждому i-ому (i=3,...,n) уравнению второе, умноженное на (i=3,...,n). Получим систему уравнений

(3)

Эта система содержит k уравнений (ks) , так как могут быть отброшены уравнения вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=0. Аналогично исключаем х₃ из всех уравнений, начиная с третьего и так далее. Так как система содержит конечное число уравнений, то процесс исключения неизвестных конечен. То есть через некоторое число шагов мы получим систему уравнений

(4)

Здесь a₁₁0, a₂₂0, ..., , ks, и, очевидно, kn.

В этом случае система уравнений (4) и, следовательно, система уравнений (1) совместны, причем, если k=n, то система имеет единственное решение, а если kn ,то система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Действительно, если k=n, то система имеет вид

(5)

Так как , то из последнего уравнения системы (5) найдем x_n, подставим найденное значение во все остальные уравнения системы и из предпоследнего уравнения найдем x_n-1 и так далее. Все переменные определяются однозначно и система (5) и, следовательно, система уравнений (1) имеют единственное решение.

Если kn, то система уравнений имеет (4). Неизвестные х_k+1, x_k+2, ..., x_n объявляем свободными. Этим переменным можно присвоить любые значения и поднимаясь по системе (4) снизу вверх, найти значения остальных переменных, которые для данного набора свободных переменных определяются однозначно. Таким образом, давая различные значения свободным переменным х_k+1, x_k+2,...,x_n, получим все решения системы.

Вывод. Метод Гаусса применим к решению любой системы линейных уравнений. При этом система (1) будет несовместной, если в процессе преобразований получится уравнение вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k где b_k0, или система будет совместной. Совместная система имеет единственное решение, если k=n, и будет иметь множество решений, если kn.

Замечание 1. Однородная система уравнений всегда совместна, так как в ней не может быть уравнений вида 0x₁+0x₂+...+0x_n=b_k где b_k0. Она всегда имеет нулевое решение, а если kn,то система имеет и ненулевые решения.

Замечание 2. На практике все преобразования производят не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы системы.

Пример

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к диагональному виду

Таким образом, получили следующее решение системы линейных уравнений

х₁=0, х₂=2, х₃=1/3, х₄=-1,5.

40