Пусть в устройстве идет реакция согласно (6) и предэкспонент пропорционален концентрации исходного вещества

W = k₁ (1 - )e^{-E / RT} (33)

Плотность  для простоты считаем постоянной (учет ее переменности не меняет качественную картину процесса). Баланс массы продукта реакции (в установившемся режиме) имеет вид

m₊* = m_-*, m₊* = VW(), m* = m* (34)

Конкретный вид W() можно получить, выразив Т из (31) и подставив в (33). Графическое представление баланса (34) см. на рис. 13. Различные режимы и переходы между ними проще всего представить себе, если считать, что изображенный на рис. 12 кран на входе в реактор вначале закрыт и мы открываем его все сильнее, увеличивая этим величину m*. Согласно (34) m* есть тангенс угла наклона линии m_* на рис. 13. При малых m* эта линия имеет единственное пересечение с линией m₊*. Это пересечение соответствует стационарному режиму с высокой температурой, так как здесь величина  близка к единице. С увеличением m* такой режим становится невозможным и происходит “перескок” на низкотемпературный режим с малым значением степени  превращения исходного вещества. Такой перескок называют потуханием реактора. При достаточно широком интервале изменения m* туда и обратно возможен гистерезис.

Рис. 13. Баланс продукта в проточном реакторе

ЗАДАНИЕ: объясните ход кривых на рис. 13, считая E/RT >> 1. Докажите неустойчивость среднего стационарного режима (для случая трех режимов). Объясните вид петли гистерезиса 1-2-3-4-1. Рассмотрите аналитически условие зажигания аналогично тому, как это делалось в п. 2.4.3.6. Вернитесь к переменной Т (вместо ). Докажите, что и в проточном реакторе на границе зажигания выполняется соотношение (18) для предвзрывного разогрева. Используя разложение Франк-Каменецкого при TT₀ (или при  0), получите по аналогии с п.2.4.3.6 условия на границе зажигания и предложите способ нахождения неизвестных заранее величин E, k₁ из эксперимента с проточным реактором. Используйте для упрощения условие  << 1.

2.7.2. Частный случай - канал горящей пороховой шашки [5].

Рассмотрим цилиндрическую шашку твердого ракетного топлива (рис. 14), горящую со скоростью u см/c по поверхности внутреннего канала. Остальные поверхности предполагаются бронированными (защищенными от горения). Нижний выход из канала закрыт. Шашка находится в сосуде при постоянном давлении, достаточном для нормального горения. Для некоторых топлив, используемых в системах залпового огня, можно принять, что от поверхности канала отходят продукты неполного сгорания с температурой около 1500⁰С, в которых по закону типа (33) идет реакция догорания, повышающая температуру еще на 30-40%.

Рис.14. Шашка с разгорающимся каналом

Докажем, что горящий канал в данном случае можно считать проточным реактором идеального перемешивания. Видимое отличие от изображенного на рис.12 реактора состоит в том, что там исходное вещество подается в объем реактора локально (в одном месте) и затем перемешивается, а на рис. 14 исходное вещество – продукты неполного сгорания – подается равномерно сквозь всю поверхность канала и потом в продольном направлении не перемешивается. Однако если удастся доказать одинаковость термодинамических параметров вещества (концентрации исходного вещества и однозначно зависящей от него температуры), то горящий канал можно считать реактором идеального перемешивания, поскольку упомянутая одинаковость соответствует определению такого реактора (см. начало п. 2.7.1).

Прежде всего докажем независимость параметров от радиальной координаты внутри канала. Эта независимость обеспечивается хорошим поперечным перемешиванием в канале. Известно, что в трубе диаметра d хорошее поперечное перемешивание посредством турбулентности реализуется при достаточно больших значениях числа Рейнольдса Re = vd/, где  - плотность текучей среды, v – средняя по сечению скорость в трубе,  - вязкость среды. Для оценки Re входящую в него скорость потока следует найти из баланса массы. Через произвольное сечение x < L канала за единицу времени проходит масса газа v d²/4, которая должна быть равна массе твердого топлива, выгоревшей за единицу времени на боковой поверхности канала от 0 до х, а это _тu xd.

, vd = 4u_т x, Re = 4u_т x/ (35)

Обратите внимание на первое равенство (35), из которого следует v/u >> 1, так как для большей части обычного вытянутого канала выполняется x/d >> 1 и для отношения плотностей твердой и газовой фазы тоже _т/ >> 1. Достоин внимания также тот факт, что в горящем канале число Рейнольдса не зависит от диаметра канала, в то время как в простой трубе оно этому диаметру пропорционально. Обычно используются канальные шашки длиной не менее нескольких десятков сантиметров. Оценим Re при х = 1 см (и далее для любой длины нужно только умножить на число сантиметров). Типичная плотность топлива _т = 1.6 г/см³, скорость горения u = 0.5 см/с, вязкость горячих пороховых газов  = 10^-3 г / (см с), тогда Re > 3000. Течение в трубах становится турбулентным уже при Re = 2000. Таким образом, показано, что начиная с координаты х = 1 см в горящем пороховом канале есть эффективное поперечное перемешивание.

Докажем теперь одинаковость в разных сечениях потока концентрации исходного вещества. Для этого обратим внимание на то, что через выходное сечение канала (как и через любое другое) проходят газовые частицы разного возраста, успевшие по этой причине до разной степени прореагировать и выделить при этом тепло. Частицы, поступившие в поток со стенки канала вблизи выходного сечения, имели мало времени для реакций догорания и почти не выделилии тепла. Напротив, частицы, поступившие в поток вблизи его начала (х = 0), имели достаточно времени и выделили все тепло. Средний интегральный (по массовому потоку) возраст газовых частиц в этом потоке определяет собой, сколько всего выделено этими частицами тепла и, следовательно, какова их общая температура.

В момент выхода из канала возраст частицы, поступившей в канал в сечении х, есть

(36)

Теперь учтем, что при заданной скорости u выгорания канала массовый поток m(x) в сечении x есть _тu d x (см. вывод (35)), тогда средний интегральный по всему массовому потоку возраст частиц

(37)

Этот возраст (а значит, и определяемая им температура) не зависит от длины L канала! Получается, что если изображенную на рис. 14 шашку в поперечном направлении распилить в любом сечении х и убрать верхнюю часть, то (естественно, после зажигания) из укороченной шашки будет бить струя газа той же температуры, что из исходной необрезанной. Ясно, что и без отпиливания в этом сечении реализуется та же самая температура. Таким образом, доказано, что в горящем канале пороховой шашки температура всюду одинакова и, следовательно, его можно считать проточным реактором идеального перемешивания.

Применим к горящему каналу результаты п. 2.7.1. Входящие в (34) объем реактора V и полный поток массы сквозь него m* в случае горящего канала выражаются через его параметры

V = Ld²/4, m* = Ld _Tu (38)

Видно, что оба эти параметра изменяются в процессе разгорания канала (увеличения d). Согласно (34) это означает на рис. 13 одновременную деформацию обеих пересекающихся кривых, что усложняет анализ. Для сохранения наглядности поделим обе части (34) на VW_=1

(39)

Множитель при  (см. среднюю часть (39)) показывает, во сколько раз полный массовый расход через реактор меньше наибольшей возможной скорости потребления реакцией исходного вещества, то есть поступающих с поверхности канала продуктов неполного сгорания. Если изобразить левую и правую части (39) как функции от , то получится схема совпадающая по внешнему виду с рис. 13. К ней применимы те же рассуждения о числе режимов и возможности перескоков - с той только разницей, что угол наклона прямой теперь меняется не открыванием крана в установке типа рис. 12 с последующим изменением m* при V = const, а разгоранием канала шашки рис. 14. Увеличение диаметра канала d уменьшает множитель при  в правой части (39), наклон прямой со временем уменьшается. Если в начале процесса наклон был достаточно велик (начальный диаметр канала достаточно мал), то можно ожидать вначале реализации «низкотемпературного» режима, когда из канала выходят практически те же продукты неполного сгорания с температурой около 1500⁰С, которые в него поступают от горящей поверхности. С разгоранием канала наклон прямой уменьшается и (см. рис. 13) происходит перескок на «высокотемпературный» режим, после чего из канала выходят продукты практически прореагировавшие до конца.

Для проверки этих выводов в 1979 г. были поставлены специальные эксперименты [5]. В частности, сжигали при P = const = 14 атм шашку пороха типа Н с начальным диаметром канала 5 мм. Горел только канал, на выходе из него температуру потока измеряли вольфрам-рениевой термопарой. Типичный вид осциллограммы показан на рис. 15.

Рис. 15. Температура газа на выходе из горящего канала