1.1.2 Эффективность цены

    Исследование фрактальных свойств цен российских (в индексе ММВБ) и американских (входящих в Dow Jones Internet Index) компаний вместе с соответствующими индексами за последние десять лет подчеркивает особое положение значения H = 0,5. Для этого, однако, необходимо использовать новый фрактальный показатель (индекс фрактальности M). Он связан с показателем Н соотношением M=1-H, однако для его определения с приемлемой точностью требуется на два порядка меньше данных, чем для показателя H, поэтому его можно рассматривать в качестве локальной фрактальной характеристики. Оказывается, что с помощью индекса фрактальности можно дать обоснование современной теории финансов, а также предсказать сильные колебания на фондовом рынке.

    В первом приближении общая картина, наблюдаемая во всех рядах, оказывается следующей. Индекс фрактальности (и фрактальная размерность финансовых рядов) совершает квазипериодические колебания около положения M = 0,5 (этот режим соответствует случайному блужданию). При этом временной ряд непрерывно изменяет свой режим, переходя из тренда (M < 0,5) через состояние случайного блуждания во флэт (M > 0,5) и обратно. Время от времени для каждого ряда появляются и исчезают состояния с относительно стабильными значениями M, отличными от 0,5. При этом режим с M = 0,5 занимает явно привилегированное положение. Для каждого временного ряда он является самым длительным на всех интервалах, содержащих восемь точек и более.

    Следует заметить, что интерпретация колебаний цен, основанная на описании поведения рыночных агентов, может сильно различаться на разных масштабах. Так, например, внутри дня, где более половины сделок совершается торговыми роботами (на рынках США), поведение агентов, видимо, является очень близким к рациональному. На масштабах же от нескольких дней до нескольких месяцев существенную роль играет социальная психология, которая всегда содержит иррациональный элемент. Между тем неизменный характер колебаний с наиболее часто встречающимся режимом случайного блуждания воспроизводится на всех масштабах, начиная от самых малых. Это наводит на мысль о том, что в основе природы этих колебаний лежит, видимо, общий механизм запаздывания, сопутствующий самому способу принятия решений агентами на фондовом рынке. При этом основным состоянием цен является все же именно случайное блуждание, которое остается главным режимом притяжения на всех масштабах. Другими словами, несмотря на часто возникающие длительные локальные отклонения, цены стремятся вернуться к эффективному поведению, которое описывает модель случайного блуждания.

1.1.3 Хаусдорфова размерность

Определение фрактальной размерности было предложено Хаусдорфом. Пусть - некоторое множество в пространстве . Предположим, что мы покрываем данное множество кубиками с величиной ребра, не превышающей некоторое значение . При этом каждая точка множества должна обязательно попасть в тот или иной кубик. Тогда мера Хаусдорфа  вводится следующим образом:

(1.1.3.1)

- нижняя грань по всем возможным покрытиям множества кубиками ; - величина ребра кубика ( ). Указанный предел зависит от параметра . Размерность Хаусдорфа представляет собой такое значение , при котором величина является конечной:

(1.1.3.2)

Согласно данному определению, может принимать нецелые значения. В общем случае, если размерность является нецелой, ее называют фрактальной. Соответственно, объекты, характеризующиеся нецелой размерностью, называют фракталами. Наличие нецелой размерности является типичной особенностью хаотических аттракторов. Хотя понятие размерности Хаусдорфа хорошо определено с точки зрения математики, ее чрезвычайно сложно вычислить. Поэтому обычно используют более «практичные» определения фрактальных размерностей.