50).Сист. Линейн.Диф-ных ур-ний с пост. Коэфф

«Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сведение к уравнению 2-ого порядка.»

Ответ:

Будем рассматривать n=2.

и - непрерывные функции на некотором отрезке (a,b)

- Постоянная матрица

Данная система называется линейной, неоднородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Если = , то эта система является однородной. Эта система может быть сведена к дифференциальному уравнению второго порядка. Продифференцируем первое уравнение по t:

Характеристическое уравнение: (1)

Находим . Далее из первого уравнения системы находим :

51).Понятие об устойчивости решения

Не всякое диф-ое ур-ие можно проинтегрировать, найти решение, в таких случаях применяются приближенные методы интегрирования, но они дают частные решения по которым нельзя судить о характере общего решения. Часто бывает нужно бывает знать поведение решения при изменении аргумента. Этим занимается качественная теория диф-ных ур-ний, одним из вопросов которой является вопрос об устойчивости решения. Рассмотрим систему

(1) пусть x=x(t), y=y(t)-решение(1)

-решение системы(1^/), удовлетворяющее условиям ,

Решение системы(1) x=x(t), y=y(t) c начальными условиями (1^/) называется устойчивым (по Ляпунову), если выполняются неравенства , . При этом начальные данные удовлетворяют неравенству , . (Это значит что при малом изменении начальных данных решение мало изменяется)