46).Определитель Вронского

«Теорема №5 о нахождении общего решения с помощью частного решения с доказательством»

Если известно одно частное решение уравнения Y’’+A1Y’+A2Y=0(1), то нахождение общего решения сводится к интегрированию функций

Д-во: Y’’+A1Y’+A2=0 W=c* -формула Остроградского – Лиувилля Пусть Y1-известное частное решение Y-другое решение, которое требуется найти

Y1*Y’-Y*Y1’=c*

Поделим на Y1²:

проинтегрируем:

домножим на Y1

= –общее решение уравнения (1). Теорема доказана.

47).Однородн. Диф-е ур-я 2-го порядка

A₀*Y’’+A₁Y’+A₂Y=0 A_0, A_1, A₂-константы Решение ищем в виде Y= , к =const Y’=k* ; Y’’=

a не равно нулю. Поделим на :

0 - характеристическое уравнение

1).Д>0, Д=А₁²-4*А₀*А₂ >0, два различных действительных корня

; Y1= ; Y2=

тогда по теореме об общем решении (общим решением уравнения Y’’+A1Y’+A2Y=0 с неопределёнными коэффициентами на [a,b] является линейная комбинация Y=c1*Y1+c2*Y2, где Y1,Y2 – линейно – независимые решения Y’’+A1Y’+A2Y=0) получим:

Y=

48).Неоднор. Лин-е диф-е ур-е 2-го порядка

Y’’+A1*Y’+A2*Y=f(x).

Теорема: Общее решение на отрезке [a,b] уравнения Y’’+A1Y’+A2Y=0 с неопределёнными коэффициентами равно сумме общего решении, соответствующего однородного уравнения Y’’+A1Y’+A2Y=0 и какого – нибудь частного решения неоднородного уравнения Y=Y_{однородн}+Y_частн

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородных уравнений: метод вариации постоянных:

Y’’+A1*Y’+A2*Y=f(x). 1). Находим решение однородного уравнения: Y’’+A1*Y’+A2*Y=0 Y=c1*Y1+c2*Y2; Y1,Y2 – частные решения 2). Предполагаем, что const – ты с1 и с2 зависят от Х

т. к. две константы, а уравнение одно, то одно условие можем наложить сами. Вычислим: Y’=c1(x)*Y1’+c2(x)*Y2’+c1’(x)*Y1+c2’*Y2

Пусть c1’(x)*Y1+c2’*Y2=0, тогда Y’’=c1(x)*Y’’+ c2(x)*Y’’+c1’(x)*Y1’+c2(x)*Y2

Подставим в уравнение: с1(х)*Y1’’+c2(x)*Y2’’+c1’(x)*Y1’+c2’(x)*Y2’+a1*c1(x)*Y1’+a1*c1(x) Y2’+a2*c2(x)*Y2=f(x) C1(x)*(Y1’’+a1*Y1’+a2)+c2(x)(Y2’’+a1*Y2’+a2*Y2)+c1’(x)*Y1’+c2’(x)*Y2=f(x)

Y1- решение однородного уравнения, (Y1’’+a1*Y1’+a2) и (Y2’’+a1*Y2’+a2*Y2) равны нулю.

- система для нахождения с1 и с2.

49).Неоднор. Диф-е ур-я 2-го порядка с постоян. Коэффиц.

«Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.»

Y’’+a1Y’+a2=f(x); a1,a2-константы

1). Если правая часть f(x) имеет специальный вид: f(x)= -1

f(x)=

+

-2 то частное решение находится методом неопределённых коэффициентов

а). если число альфа (следующий (1)) или (следующий (2)) совпадают корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде: (1): Yчастное = , где р. - кратность корня (2):

Yчастное= +

б). если число альфа (следующий (1)) или (следующий (2)) не совпадает с корнем, то частное решение ищут в виде: (1): Yчастное = , где р. - кратность корня (2):

Yчастное= +