3.10. Парабола

Параболой называется множество точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки (называемой фокусом) равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой).

П усть F – фокус, l – директриса параболы, р – расстояние от фокуса F до директрисы l (назовем р параметром параболы). Выведем уравнение параболы.

Выберем ось 0х так, чтобы она проходила через фокус F перпендикулярно l, а начало системы координат расположим в середине перпендикуляра, опущенного из F на l (рис. 3.25). Тогда фокус имеет координаты F( , 0), а директриса описывается уравнением .

Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы, тогда по определению параболы расстояние MN от М до l равно расстоянию MF от М до фокуса (MN = MF):

, .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: . После упрощения найдем:

(3.20)

– каноническое уравнение параболы.

По уравнению (3.20) исследуем свойства параболы и начертим ее. Из четности степени у в (3.20) следует, что парабола симметрична относительно оси 0х. Парабола проходит через начало координат, так как х = 0 и у = 0 удовлетворяют уравнению (3.20). Далее, х 0 (так как р > 0), поэтому парабола лежит правее оси 0у. В первой четверти парабола задана равенством , откуда видим, что с возрастанием х возрастает и у. Используя симметричность параболы, изображаем её (рис. 3.26).

Заметим, что уравнение при отрицательном р также задает параболу, которая будет расположена слева от оси 0у (рис. 3.27). Уравнение описывает параболу, симметричную относительно оси 0у, лежащую выше оси 0х при р > 0 и лежащую ниже оси 0х при р < 0.

Пример 3.10. Найти уравнение параболы, которая симметрична относительно оси 0х, проходит через начало координат и точку М(1, –4).

Решение. Уравнение этой параболы имеет вид , надо найти только параметр р. Координаты точки М(1, –4) удовлетворяют этому уравнению, поэтому

, откуда . Получаем – уравнение искомой параболы.

Рассмотрим общее уравнение второго порядка:

.

Е сли В = 0, С = 0 и Е 0, то

. (3.21)

Получили квадратичную функцию (квадратный трехчлен), перейдем к обычным обозначениям: . Из школьного курса математики известно, что графиком квадратного трехчлена (3.21) является парабола с вершиной в точке М₀( , ), с осью симметрии, параллельной оси 0у (выясняется это с помощью выделения полного квадрата).

3.11. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Мы рассмотрели четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Рассматривая общее уравнение второго порядка:

при отсутствии члена Вху (исследовали случай при В = 0), мы видели, что данное уравнение при различных соотношениях между коэффициентами А, С, D, Е может описывать либо одну из перечисленных четырех кривых, либо точку, либо пару пересекающихся прямых, либо не определять ничего. Кроме перечисленных случаев, уравнение (3.17) может определять еще две параллельные прямые или одну прямую (например, уравнение задает прямую ).

Пусть теперь уравнение (3.17) содержит член с произведением ху (т.е. В 0). Покажем, что можно, осуществляя поворот системы координат, перейти к новым координатам так, что уравнение (3.17) в новых координатах не будет содержать члена с произведением координат ху.

Если новая система 0XY получается из старой 0ху поворотом на угол , то переход от старых координат к новым происходит по формулам:

(3.22)

При подстановке х, у по формулам (3.22) в уравнение (3.17) слагаемые Dx и Еу дадут лишь первые степени Х и Y. Поэтому преобразуем сумму :

Преобразуем коэффициент при XY:

Выберем угол поворота так, чтобы этот коэффициент был равен нулю:

.

Это всегда возможно. Действительно, при С = А будет , следовательно, при , следовательно,

Итак, с помощью поворота системы координат получили, что в новых координатах уравнение (3.17) не содержит члена с произведением координат ху. Выделяя далее полные квадраты, приведем уравнение к каноническому виду.

Известно, что уравнение (3.17) может описывать только перечисленные ранее линии.