3.8. Эллипс

Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек есть величина постоянная (причем эта величина больше расстояний между данными точками). Данные точки называются фокусами эллипса.

Обозначим фокусы F₁, F₂ и расстояние между ними через 2с, т.е. . Выберем декартову систему координат так, чтобы ось 0х прошла через фокусы, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂, (рис. 3.16). Тогда фокусы будут иметь координаты F₁(с, 0), F₂(–с, 0). Обозначим через М(х, у) произвольную точку эллипса. По определению эллипса сумма расстояний есть величина постоянная, обозначим ее через 2а (по условию 2а > 2с, т.е. а > с). В равенстве:

= 2а

выразим расстояния через координаты точки М, получим:

Чтобы избавиться от иррациональностей, перенесем один из радикалов в правую часть равенства и возведем обе части в квадрат:

После очевидных преобразований получим:

Возведем еще раз это равенство в квадрат и упростим:

Разделим обе части равенства на :

Поскольку , то и . Пусть , тогда из последнего равенства получим:

(3.18)

– каноническое уравнение эллипса.

Установим форму эллипса, используя его уравнение. В каноническом уравнении (3.18) текущие координаты х, у входят лишь в четных степенях, следовательно, эллипс симметричен относительно осей 0х, 0у и начала координат. Оси симметрии эллипса называются его осями, точка пересечения осей – центром эллипса.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Решая совместно систему уравнений

получим: Следовательно, с осью 0х эллипс пересекается в точках А₁(а, 0), А₂(– а, 0). Аналогично находим, что эллипс пересекается с осью 0у в точках В₁(0, b), В₂(0, –b). Найденные точки называется вершинами эллипса, отрезки А₁А₂, В₁В₂ – большой и малой осями соответственно.

Определим форму эллипса в первой четверти, для этого разрешим уравнение эллипса (3.18) относительно переменной у:

.

Отсюда для первой четверти имеем . При возрастании х от 0 до а переменная у уменьшается от b до 0. Воспользовавшись симметрией эллипса, изобразим его полностью (рис. 3.17).

Заметим, что уравнение при также задает эллипс, только его фокусы будут расположены на оси 0у и поэтому b – большая полуось, а – малая полуось.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса и обозначается: , . Так как , то < 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Из формулы получаем:

.

С ледовательно, с уменьшением отношение стремится к 1, т.е. b мало отличается от а и форма эллипса становится ближе к форме окружности. В предельном случае при , получается окружность, уравнение которой есть

х² + у² = а² .

Пример 3.8. Построить кривую:

9х² + 6у² = 54 .

Решение. Разделим обе части уравнения на 54, получим:

– каноническое уравнение эллипса с малой полуосью а = и большой полуосью b = 3. Фокусы эллипса лежат на оси 0у. В этом случае , следовательно, , т.е. с = . Фокусы эллипса имеют координаты F₁(0, ), F₂(0, – ) (рис. 3.18).