3.17. Параболоиды*

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:

, (3.37)

где р и q одного знака.

П усть , , тогда z 0, причем z = 0 при х = 0 и у = 0. Следовательно, с плоскостью 0ху эта поверхность имеет единственную общую точку 0(0, 0, 0). Рассмотрим сечение параболоида плоскостью z = h, (эта плоскость параллельна плоскости 0ху):

Видим, что сечение – эллипс с полуосями . Сечения с плоскостями 0ху и 0уz являются параболами:

причем 0z является их общей осью (рис. 3.39). Oсь 0z является осью параболоида (3.37). Если , , то параболоид будет располагаться ниже плоскости 0ху.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой имеет вид:

, (3.38)

где р и q одинакового знака.

П усть , . Рассмотрим сечения этой поверхности плоскостями 0xz и 0yz, получим, соответственно, параболы , причем ветви первой направлены вверх, а ветви второй – вниз (рис. 3.40). С плоскостью 0ху параболоид имеет сечение , что равносильно двум системам:

(3.39)

Системы (3.39) задают в плоскости 0ху две прямые, проходящие через начало координат.

Пусть плоскость параллельна 0ху и удалена от нее на h ( ), тогда в пересечении с параболоидом (3.38) получится гипербола

(3.40)

При гипербола (3.40) имеет действительную полуось , мнимую полуось (рис. 3.40, L₃). При гипербола (3.40) имеет действительную полуось , а мнимую – (рис. 3.40, L₄).

3.18. Поверхности вращения*

Пусть линия L лежит в плоскости 0ху и задается в пространстве системой

Рассмотрим поверхность, образованную вращением линии L вокруг оси 0у (рис. 3.41), и выведем уравнение этой поверхности.

П усть М(х, у, z) – произвольная точка этой поверхности. Проведем через М плоскость, перпендикулярную 0у, получим в сечении окружность с радиусом AM.

М₀(х₀, у₀, z₀ ) – точка пересечения этой окружности с линией L, поэтому

AM = AM₀ = x₀, z₀ = 0, y₀ = y и F(x₀, y₀) = 0. (3.41)

Из имеем: отсюда . Учитывая, что у₀ = у, из равенств (3.41) получаем:

, (3.42)

т.е. координаты любой точки поверхности вращения удовлетворяют уравнению (3.42). Следовательно, это уравнение является уравнением данной поверхности вращения.

Если линия L лежит в плоскости 0уz и определяется системой

то поверхность, образованная вращением L вокруг оси 0z, задается уравнением: . Если L вращается вокруг оси 0у, то поверхность вращения будет иметь уравнение: . Аналогично в случае, когда L вращается вокруг оси 0x.

Пример 3.11. Найти уравнение и определить вид поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси 0у.

Решение. Заменяя в уравнении x² на x² + z², получим уравнение эллипсоида: называемого эллипсоидом вращения.

Пример 3.12. Парабола , лежащая в плоскости у = 0 вращается вокруг оси 0z. Определить вид получаемой поверхности и записать ее уравнение.

Решение. Заменим х² в уравнении z = х² на х² + у², получаем уравнение эллиптического параболоида: , называемого параболоидом вращении.

П ример 3.13. Какие поверхности образует гипербола

(3.43)

при вращении вокруг осей 0у и 0z?

Решение. При вращении гиперболы (3.43) вокруг оси 0у получаем: – двуполостный гиперболоид (рис. 3.42), а при вращении ее вокруг оси 0z получаем однополостный гиперболоид (рис. 3.43).