3.6. Взаимное расположение в пространстве двух прямых, прямой и плоскости

Пусть прямые l₁ и l₂ заданы каноническими уравнениями:

l₁: l₂: .

Направляющие векторы этих прямых соответственно будут:

Углом между прямыми называется угол между прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу между направлявшими векторами , который вычисляется по формуле (2.4):

Условия параллельности и перпендикулярности прямых совпадают, соответственно с условиями параллельности или перпендикулярности векторов .

Чтобы определить взаимное расположение прямых l₁ и l₂ и найти точку их пересечения (если они пересекаются), достаточно решить систему уравнений с тремя неизвестными:

Если эта система имеет единственное решение х₀, у₀, z₀, то прямые пересекаются в точке М₀(х₀, у₀, z₀).

Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.

Если система не имеет решений, то прямые l₁ и l₂ не имеют общих точек, а потому либо параллельные, либо скрещивающиеся. Пусть заданы плоскость и прямая l:

, l:

Если система из этих трех линейных уравнений с тремя неизвестными х, у, z имеет единственное решение, то l и пересекаются; если система несовместна, то ; если система имеет бесконечное множество решений, то прямая l лежит в плоскости .

Условие параллельности l и совпадает с условием перпендикулярности векторов и , т.е.

Условие перпендикулярности l и будет выглядеть так:

(Убедитесь в этом!).

Пример 3.7. Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости , если они заданы уравнениями:

Решение. Запишем уравнения прямой l в параметрической форме:

(3.16)

1) Подставим эти выражения в уравнение плоскости , получим:

.

Решая это уравнение, получим t₁ = 1. Подставим это значение в систему (3.16) получим , , . Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в точке М₁(3, 2, 7).

2) Подставим х, у, z из (3.16) в уравнение плоскости :

.

Получили противоречивое уравнение, значит, соответствующая система решений не имеет, а поэтому .

3) Подставим х, у, z из системы (3.16) в уравнение плоскости :

,

отсюда видно, что параметр t может принимать любые значения, при этом соответствующая точка прямой l принадлежит плоскости . Значит, прямая l лежит в плоскости .

3.7. Кривые второго порядка. Окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат 0ху.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат точки М(х, у, z). В общем случае это уравнение имеет вид:

(3.17)

где коэффициенты А, В, С, D, E, L – любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, B, С отлично от нуля.

В дальнейшем будут рассмотрены четыре вида кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружностью называется множество точек на плоскости, расстояние от которых до фиксированной точки М₀(х₀, у₀) постоянно и равно R. Точка М₀ называется центром окружности, а число R – ее радиусом (рис. 3.15).

Получим уравнение окружности. Пусть М(х, у) есть произвольная точка окружности. Тогда по определению |M₀М| = R или

Возводя обе части равенства в квадрат, получим:

– уравнение окружности с центром в точке М₀(х₀, у₀) и радиусом R.

Если центр окружности совпадает с началом координат, то имеем:

– каноническое уравнение окружности.

Рассмотрим уравнение (3.17) при условии А = С 0, В = 0. После деления этого уравнения на А и переобозначения коэффициентов получим уравнение:

.

Выделим в нем полные квадраты или .

Если , то обозначив через R², получим уравнение окружности: с центром в точке М₀(а,b) радиуса

Если , то уравнение: задает только точку М₀(а, b).

Если то никакого геометрического образа нет.