3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
Пусть даны две прямые l1 и l2 на плоскости:
.
Чтобы определить их взаимное расположение, достаточно решить систему уравнений:
(3.8)
Если эта система имеет единственное решение (х0, у0), то прямые l1 и l2, пересекается в точке М0(х0, у0). Если система (3.8) не имеет решений, то прямые l1 и l2 не пересекаются, следовательно, l1 || l2. Если система (3.8) имеет бесконечное множество решений, то l1 и l2 совпадают.
Однако
решить вопрос о взаимном расположении
l1
и l2
можно и не решая системы (3.3). Действительно,
из общего уравнения прямой l1,
находим, что ее нормальный вектор
имеет координаты А1
и В1
, т.е.
= {А1,
В1},
а прямая l2
имеет нормальный вектор
= {А2,
В2}.
Если векторы
,
коллинеарны, то прямые l1
и l2
либо параллельны, либо совпадают. Если
,
неколлинеарны, то прямые пересекаются.
Зная, что коллинеарные векторы (и только
они) имеют пропорциональные координаты,
получаем: если
,
то прямые l1
и l2
пересекаются; если
то
прямые l1
и l2
параллельны;
если
то
прямые l1
и l2
совпадают.
Используя нормальные векторы , можно также найти угол между прямыми, так как угол между нормальными векторами равен одному из углов между прямыми l1 и l2 (рис. 3.9).
И
з
определения скалярного произведения
векторов получаем:
,
поэтому
.
Пусть
на плоскости заданы прямая
и точка М0(х0,
у0).
Найдем расстояние d
от точки М0(х0,
у0)
до прямой l
(рис. 3.10). Пусть М1(х1,
у1)
– точка пересечения прямой l
и прямой, проходящей через точку М0
перпендикулярно l.
Так как М1
лежит на l,
то ее
координаты удовлетворяют уравнению
этой прямой, таким образом, имеем
тождество:
.
(3.9)
Рассмотрим
вектор
.
Этот вектор коллинеарен нормальному
вектору
= {А1,
В1}
прямой l
и
,
поэтому косинус угла между векторами
и
равен либо 1, либо -1. Следовательно,
,
откуда
.
Учитывая тождество (3.9) получаем:
.
(3.10)
Пример 3.3. Найти расстояние от точки пересечения прямых ll и l2 до прямой l3. Определить взаимное расположение пар прямых l1, l3 и l2, l3, если прямые заданы общими уравнениями:
Решение. Решим систему уравнений:
Получим: х0 = 1, у0 = 2 – единственное решение. Следовательно, прямые l1 и l2 пересекается в точке М0(1, 2). Используя формулу (3.10), найдем расстояние d от М0 до l3:
Нормальные
векторы прямых l1,
l2
и l3
соответственно будут
= {3, –2},
= {1, 1},
= {–6, 4}. Так как координаты
и
пропорциональны 3/( – 6) = –2/3 и –2/4
1/(
–3), то l1
|| l3.
Для
и
имеем:
1/(–6)
1/4,
следовательно, l2
и l3
пересекаются.
3.3. Плоскость в пространстве
П
усть
в пространстве задана прямоугольная
система координат: 0 – начало координат,
– единичные направляющие векторы осей
координат, соответственно 0х,
0у
и 0z.
Рассмотрим в пространстве произвольную
плоскость
.
Выведем уравнение этой плоскости, т.е.
уравнение, содержащее переменные х,
у,
z,
которому удовлетворяют координаты
любой точки, лежащей на плоскости
и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей
на этой
плоскости.
Пусть
задана точка М1(х1,
у1,
z1)
и вектор
={А,
В,
C}
перпендикулярный плоскости
(нормальный вектор плоскости). Пусть
M(x,
у,
z)
– произвольная точка, принадлежащая
плоскости
.
Тогда вектор
перпендикулярен
вектору
(рис. 3.11), а поэтому
=
0 (условие перпендикулярности векторов
(см. разд. 2.4)) или
.
(3.11)
Итак, координаты любой точки М, лежащей в плоскости , удовлетворяют этому уравнению и, легко видеть, что координаты точки, не лежащей в плоскости , не удовлетворяют уравнению (3.11). Следовательно, уравнение (3.11) является уравнением плоскости и называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.
Уравнение (3.11) является уравнением первой степени относительно текущих координат х, у, z. Можно показать (аналогично тому, как это было сделано в разд. 3.1), что всякое уравнение первой степени относительно x, у, z
(3.12)
является уравнением некоторой плоскости (оно называется общим уравнением плоскости), причем вектор ={А, В, C}, является нормальным вектором плоскости.
Если
в уравнении (3.12) D
= 0, то этому
уравнению удовлетворяет тройка чисел
(0, 0, 0), т.е. соответствующая плоскость
проходит через начало координат. Нетрудно
видеть, что плоскость 0ху
имеет уравнение
,
плоскость 0xz
– уравнение
,
a плоскость 0yz
задается уравнением
.
Известно,
что плоскость однозначно определяется
тремя точками, не лежащими на одной
прямой. Пусть
и М(х,
у,
z)
– произвольная точка плоскости
(рис. 3.12). Рассмотрим векторы
они компланарны, поэтому их смешанное произведение равно 0, т.е.
(3.13)
Это уравнение называется уравнением плоскости по трем точкам.
Пусть плоскость пересекает оси координат в точках: М1(а, 0, 0), М2(0, b, 0), M3(0, 0, с). Подставляя их координаты в уравнение (3.13), находим:
Вычислив определитель, получим:
,
откуда
Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.
Пример 3.4. Построить плоскость, заданную общим уравнением:
.
Решение. Преобразуем данное уравнение в уравнение в отрезках
В
M1
идим,
что плоскость отсекает на осях 0x,
0y, 0z, соответственно отрезки 3,
2, 1. Следовательно, она проходит через
точки
М1(3, 0, 0), М2(0 2, 0), М3(0, 0, 1).
По этим данным легко построить плоскость (рис. 3.13).