Билет №23

Вопрос 2

П усть задана функция y = f (x), Тогда каждому числу соответствует

единственное число .Иногда приходится по значению функции y₀ находить значение аргумента x₀, то есть решать уравнение f (x) = y₀  относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y₀).

Если функция f такова, что каждому значению соответствует только одно значение

то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому соответствует единственное значение . Э то соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f^–1.

Пусть g = f^–1. Тогда:

• D (g) = E (f), E (g) = D (f);

• д ля любого   g (f (x)) = x,

• для любого    f (g (x)) = x;

• графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.

! Любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает ( убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Билет №24

Вопрос 1

Д оказательство

Доказательство

Д оказательство

Доказательство

Билет №24

Вопрос 2

Билет №25

Вопрос 1

АСИМПТОТА— прямая, к которой стремится (никогда не достигая ее) имеющая бесконечную ветвь кривая некоторой функции, когда ее аргументт приближается к некоторому заданному значению, неограниченно возрастает или уменьшается.

Горизонтальная асимптота

Пусть  lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  бесконечности)

Вертикальная асимптота

П усть при x  a  0 lim f (x) =  . Тогда говорят, что прямая x = a является

х  

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в +  или  .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

. Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

Н аклонная асимптота

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х   

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x  

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

П ример

то есть асимптота при x  + имеет уравнение y=x.

Аналогично можно показать, что при x  -  асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

Билет №25