Билет №16

Вопрос 2

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Физический смысл производной: если функция описывает какой-либо физический процесс, то её производная есть скорость протекания этого процесса

Геометрический смысл: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции

Билет №17

Вопрос 1

Свойства первого замечательного предела:

Билет №17

Вопрос 2

Функция называется монотонной на промежутке, если на нём она является либо неубывающей, либо невозрастающей

Достаточное условие монотонности дифференцируемой функции

Билет №18

Вопрос 1

Непрерывность функции в точке

Доказательство непрерывности функции :

Доказательство непрерывности многочлена:

Билет №18

Вопрос 2

Точка перегиба функции – точка графика непрерывной функции y=f(x), отделяющая его части разной выпуклости

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то f''(x₀) = 0.

Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая y = f(x) в точке перегибаA[x₀ ; f(x₀ )] переходит от выпуклости вверх в выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом hв интервале (x₀ - h, x₀ ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале (x₀, x₀ +h) - больше нуля. Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных значений к положительным, она при x = x₀ обращается в нуль: f ''(x₀ ) = 0.

На рис.5 изображен график функции  . Хотя при x₀ = 0 имеется касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем

,   f '(0)=

Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.    Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x) обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако это условие не является достаточным.

Рисунок 5.

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и  , и f⁽ⁿ⁾ = 0 при n = 2,3,...,k − 1, а  , то функция f(x) имеет в x₀ точку перегиба.

Билет №19

Вопрос 1

Определение: Если , то называются эквивалентными бесконечно малыми ; это обозначается так:

Сделаем замену:

т.к.

при , сменим значение переменой z на x

• 

Вопрос 2

Теорема Ролля

Если функция, непрерывная на сегменте [a;b] и дифференцируемая на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Доказательство: Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрический смысл:

Если крайние ординаты кривой равны, то согласно теореме Ролля на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

А) да Б) нет