Билет №28

Вопрос 1

Сравнение бесконечно больших

Если - конечное число, отличное от нуля, то ББ функции F(х) и G(х) называются бесконечно большими одного порядка роста при ха.

Если =0, то ББ G(х) называется бесконечно большой более высокого порядка по сравнению с F(х) (F(х) называется бесконечно большой низшего порядка по сравнению с G(х)). Обозначение: F(x) = o(G(x)).

Если =1, то ББ G(х) и F(х) называются эквивалентными.

(Необходимое и достаточное условие эквивалентности ББ). Для того, чтобы ББ функции F(х) и G(х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие F(х) - G(х) = о(F(х)) (или F(х) - G(х) = о(G(х)).

Сравнение бесконечно малых функций.

пусть (х)0, (х)0 при ха и пусть  .

Если - конечное число, отличное от нуля, то БМ функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка.

Если =0, то БМ (х) называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с (х) ((х) называется бесконечно малой низшего порядка по сравнению с (х)). Обозначение: (х) = о((х)).

Если =1, то БМ (х) и (х) называются эквивалентными. Обозначение: (х)(х); если (х)(х), то (х)(х).

(Необходимое и достаточное условие эквивалентности БМ). Для того, чтобы БМ функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была БМ функцией высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Док-во. Необходимость. (х)(х) =1 0 . Достаточность.   =1.

Билет №28

Вопрос 2

График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз, если он расположен не ниже любой касательной, проведённой на этом интервале.

График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вверх, если он расположен не выше любой касательной, проведённой на этом интервале.

Определение точки перегиба. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в этой точке график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки .

Необходимое условие точки перегиба. Пусть - точка перегиба графика функции , и пусть в точке существует непрерывная в этой точке вторая производная . Тогда .

Док-во от противного. Предположим, что , для определённости . Тогда, в силу непрерывности в точке , в некоторой окрестности точки ; следовательно, в любой точке этой окрестности график функции располагается выше касательной, что противоречит предположению о том, что - точка перегиба .

Точка называется критической точкой второго рода, если 1. непрерывна в некоторой окрестности ; 2. существует (конечная или бесконечная) производная функции в точке ; 3. дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки ; 4. вторая производная этой функции в точке равна нулю или не существует.

8.5.4. Достаточное условие точки перегиба. Теорема. Пусть - критическая точка второго рода функции и пусть функция имеет вторую производную в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если в пределах этой окрестности имеет разные знаки по разные стороны от точки , то график функции имеет перегиб в точке .

Док-во непосредственно следует из определения точки перегиба: так как вторая производная функции имеет разные знаки по разные стороны от точки , график функции имеет разные направления выпуклости по разные стороны от точки , т.е. это точка перегиба.