14) Уравнение пучка прямых

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку S, называется пучком прямых с центром в S.

Если   и   - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке S, то уравнение

, (1)

где  ,   - какие угодно числа, не равные одновременно нулю, определяет прямую, также проходящую через точку S.

Более того, в уравнении (1) числа  ,   всегда возможно подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную) прямую, проходящую через точку S, иначе говоря, любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение вида (1) называется уравнением пучка (с центром в S).

Если  , то, деля обе части уравнения (1) на   и полагая  , получим

. (2)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром S, кроме той, которая соответствует  , то есть кроме прямой

15)Угол между прямыми

Пусть прямые   и   заданы каноническими уравнениями   и   Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых:   Тогда (2.38) Если   то  Если  , то   или    .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Если прямые  и  параллельны, то угол  и  , откуда из формулы угла между двумя прямыми    . И наоборот, если  , то по этой же формуле  и  .

Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.

 - условие параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то  , при этом  или  , откуда   или  .

Справедливо так же и обратное утверждение.

Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

 - условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые заданы уравнениями в общем виде:  и  , то учитывая их угловые коэффициенты  и  , условие параллельности прямых имеет вид:  .

Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых   в этом случае примет вид     или  ,

Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

16) Общее уравнение плоскости

  Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

 Ax + By + Cz + D = 0

где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

            Возможны следующие частные случаи:

А = 0 – плоскость параллельна оси Ох

В = 0 – плоскость параллельна оси Оу

С = 0 – плоскость параллельна оси Оz

D = 0 – плоскость проходит через начало координат

А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу

А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz

В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz

А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох

В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу

С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz

А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу

А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz

В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz.

17) Угол между плоскостями

Пусть плоскости   и   заданы соответственно уравнениями   и   . Требуется найти угол   между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку   на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры   и   к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы   и   плоскостей   и   с началами в точке   (рис. 11.6).

Рис.11.6.Угол между плоскостями

Если через точку   провести плоскость   , перпендикулярную линии пересечения плоскостей   и   , то прямые   и   и изображения векторов   и   будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости   (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

В одном варианте (рис. 11.7)   и   , следовательно, угол   между нормальными векторами равен углу   , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями   и   .

Во втором варианте (рис. 11.8)   , а угол   между нормальными векторами равен   . Так как

то в обоих случаях   .

По определению скалярного произведения   . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где   -- любое число.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей

 Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям 1 соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1, т.е.

cos = cos1.

  Определим угол 1. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1),  (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

  Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

 

 

 Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 

  На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

  Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:   .Это условие выполняется, если:  .

 Угол между прямыми в пространстве.

  Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения:

l1: 

l2: 

 Угол между прямыми  и угол между направляющими векторами  этих прямых связаны соотношением:  = 1 или  = 1800 - 1. Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения. Таким образом:

 

.

18) . Каноническое уравнение плоскости в пространстве

Пусть в декартовой системе координат дан вектор n={A,B,C} и точка М₀=(x₀,y₀,z₀).

Построим плоскость Π, проходящую через т. М₀, перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).

Утверждение 1: М   Π   М₀М  n.

М₀М={x-x₀, y-y₀, z-z₀}   n   A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0. (*)

(См. свойства скалярного произведения)

• Каноническое уравнение плоскости в пространстве:

Аx+By+Cz+D=0, где D = -Ax₀-By₀-Cz₀.

Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.

 

Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n={3,1,1} и проходящей через точку М(2,-1,1).

Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).