Определение

Пусть   есть векторное пространство над полем   и   — базис в  .

Функция   называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где  , а   — некоторые элементы поля  .

Связанные определения

Матрицу   называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля   не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть  .

Для любой квадратичной формы   существует единственная симметричная билинейная форма  , такая, что  . Билинейную форму   называют полярной к  , она может быть вычислена по формуле

Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.

Квадратичная форма   называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого   выполнено неравенство    . Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Квадратичная форма   называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если     для любого  .

Свойства

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

Для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид:

Р азность между числом положительных (p) и отрицательных (n − p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.