4. Розв’язування задачі дробово-лінійного програмування графічним методом.
(2., стор.181-183).
Розв’язати графічно задачу дробово-лінійного програмування:
за умов
Розв’язання. Побудуємо на площині область допустимих розв’язків задачі — трикутник АВС.
Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів х1, х2 так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо х2 із цільової функції:
.
Кутовий коефіцієнт цільової функції
.
Розглянемо похідну
.
Оскільки при будь-якому значенні Z вона від’ємна, то функція RZ є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт RZ зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.
Знайдемо координати цих точок.
Точка А:
Звідси
Точка А має координати (6/7; 24/7).
Точка С:
Звідси
Точка С має координати (9/2; 1).
Знайдемо значення цільової функції в цих точках:
Результати (ZC > ZA) підтверджують, що оптимуми знайдено правильно: максимум досягається в точці С, а мінімум — у точці А.
5. Розв’язування задачі нелінійного програмування графічним методом.
6. Розв’язування задачі нелінійного програмування методом множників Лагранжа.
(2., стор.193).
Попит
на продукцію, що виготовляється на двох
видах
обладнання, становить 120 одиниць.
Собівартість, тис. грн.,
виробництва одиниці продукції на
обладнанні кожної групи залежить від
обсягу такого виробництва — відповідно
х1
і х2
— та подається у вигляді для першої
групи:
;
для другої групи:
.
Знайти оптимальний план виробництва продукції на кожній групі обладнання, який за умови задоволення попиту потребує найменших витрат, пов’язаних із собівартістю продукції.
Розв’язування. Математична модель задачі:
за умов
Згідно з методом множників Лагранжа складемо функцію Лагранжа:
.
Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції за невідомими параметрами Х1, Х2 і , дістанемо систему рівнянь:
Розв’язавши цю систему, знайдемо:
Отже, на першій групі обладнання необхідно випускати 66,5, а на другій 53,5 одиниць продукції. При цьому мінімальні витрати, тис. грн., становитимуть:
