25.Задача планування виробничої лінії.

(1., стр.293-294).

Задача планування виробничої лінії. Розглядається процес функціонування виробничої лінії. Відома схема, яка зображає послідовність робіт для виготовлення k видів продукції . Відомі також: a_j — тривалість виконання j-ї операції ;  — термін для k-го виробу, до якого необхідно завершити операцію j; х_j — момент початку j-ї операції; t — тривалість виконання всіх операцій. Допускається, що в будь-який момент на верстаті виконується тільки одна операція.

Необхідно визначити оптимальні моменти початку кожної операції.

Економіко-математична модель виробничої лінії міститиме такі групи обмежень:

1. Послідовність виконання j-ї операції записується для всіх пар операцій так: якщо j-та операція передує i-й операції.

2. Обмеження щодо нерозгалуженості виробничого процесу для операцій і та j, які не виконуються одночасно (i  j), має вигляд:

або x_i – х_j = a_j, якщо операція j передує операції і;

або x_j –х_i = a_i, якщо операція і передує операції j.

Зауважимо, що логічні обмеження виду «або-або» не можуть входити до економіко-математичної моделі задачі лінійного програмування, оскільки вони породжують неопуклу множину допустимих розв’язків. Тому необхідно ввести допоміжні змінні, які уможливлюють запис наведених вище логічних умов у вигляді лінійних обмежень. Це такі бульові змінні:

Скориставшись прийомом з попереднього прикладу 6.6. (введення досить великого числа М), запишемо обмеження:

;

,

де М — досить велике число.

3. Обмеження щодо термінів виготовлення кожного виробу:

,

де j — остання операція для k-го виробу.

4. Усі операції мають бути виконані до моменту t:

, .

Критерій оптимальності:

,

тобто ставиться завдання, щоб тривалість виготовлення всіх видів виробів була мінімальною.

Отже, маємо таку математичну модель:

, — цілі числа .

26.Економічна та математична постановка задачі дробово-лінійного програмування.

(1., стр.300-301).

Розв’язуючи економічні задачі, часто як критерії оптимальнос­ті беруть рівень рентабельності, продуктивність праці тощо. Ці показники математично виражаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так (розглянемо задачу визначення оптимальних обсягів виробництва продукції): позначимо через прибуток від реалізації одиниці -го виду продукції, тоді загальний прибуток можна виразити формулою: ; якщо — витрати на виробницт­во одиниці -го виду продукції, то — загальні витрати на виробництво. У разі максимізації рівня рентабельності вироб­ництва цільова функція має вигляд:

(7.1)

за умов виконання обмежень щодо використання ресурсів:

; (7.2)

. (7.3)

Передбачається, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю.

Очевидно, що задача (7.1)—(7.3) відрізняється від звичайної задачі лінійного програмування лише цільовою функцією, що дає змогу застосовувати для її розв’язування за певного модифікування вже відомі методи розв’язання задач лінійного програмування.